2003-上海文-21 解-向量圆对称抛物线

本题导读

本题考查向量坐标、圆的对称与抛物线的对称。核心在于利用中点与垂直关系求对称曲线。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 在以 $O$ 为原点的直角坐标系中，点 $A(4,-3)$ 为 $△OAB$ 的直角顶点.已知 $|AB|=2|OA|$，且点 $B$ 的纵坐标大于零.

(1) 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标；

(2) 求圆 $x^2-6x+y^2+2y=0$ 关于直线 $OB$ 对称的圆的方程；

(3) 是否存在实数 $a$，使抛物线 $y=a{x}^2-1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $OA\perp AB$ 且 $|AB|=2|OA|=10$，结合 $B$ 纵坐标正求 $\overrightarrow{AB}$。
2. (2) 先求直线 $OB$，再求圆心关于 $OB$ 的对称点。
3. (3) 设对称两点，用中点垂直列式，转化为二次方程判别式。

✅【答案】

Success

(1) $\overrightarrow{AB}=(6,8)$；(2) $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$；(3) 存在，$a>\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $|OA|=5$，$|AB|=2|OA|=10$.设 $\overrightarrow{AB}=(x,y)$，由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$ 得 $4x-3y=0$，又 $x^2+y^2=100$，结合 $B$ 的纵坐标 $y-3>0$ 得 $(x,y)=(6,8)$. (2) $B=A+\overrightarrow{AB}=(10,5)$，直线 $OB$ 的方程为 $y=\frac{1}{2}x$.圆 $x^2-6x+y^2+2y=0$ 即 $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=10$，圆心 $C(3,-1)$ 关于直线 $y=\frac{1}{2}x$ 的对称点为 $C^{\prime }(1,3)$，故对称圆的方程为 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$. (3) 设抛物线上关于直线 $OB$ 对称的两点为 $P,Q$，由中点、垂直关系可化为关于 $a$ 的不等式，解得 $a>\frac{3}{2}$ 时存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量圆对称抛物线
2. 核心方法：(1) $|AB|=2|OA|=10$，$OA\perp AB$，$B$ 纵坐标正得 $\overrightarrow{AB}=(6,8)$；(2) 圆关于 $OB$ 对称得 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$；(3) 对称点存在得 $a>\frac{3}{2}$
3. 避坑指南：对称问题用中点与垂直关系求对称曲线

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材向量与圆的对称
2. 结论推广: 一般地，圆关于直线对称得等半径的圆，圆心对称；用中点与垂直求对称点，再定对称曲线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-06 填-向量定坐标
• 2008-天津文-15 填-圆的对称与弦长
• 2004-全国卷II文-04 单-圆关于直线的对称