2003-上海文-20 解-椭圆隧道土方量最值

本题导读

本题考查椭圆在实际问题中的应用。核心在于建立坐标系写出椭圆方程并求最值。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 $22$ 米，要求通行车辆限高 $4.5$ 米，隧道全长 $2.5$ 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1) 若最大拱高 $h$ 为 $6$ 米，则隧道设计的拱宽 $l$ 是多少？

(2) 若最大拱高 $h$ 不小于 $6$ 米，则应如何设计拱高 $h$ 和拱宽 $l$，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （注：半个椭圆的面积公式为 $S=\frac{\pi }{4}lh$，柱体体积为底面积乘以高，本题结果精确到 $0.1$ 米）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以拱顶为原点、地面为 $x$ 轴建系，椭圆 $\frac{x^2}{(l/2{)}^2}+\frac{y^2}{h^2}=1$。
2. 代入限高点 $(11,4.5)$ 得 $l$ 与 $h$ 的关系，再求土方量 $\propto lh$ 的最小值。

✅【答案】

Success

(1) $l\approx 33.3$ 米；(2) 当 $h\approx 6.4$ 米、$l\approx 31.1$ 米时土方工程量最小

✍【详细解析】

Abstract

(1) 建系后椭圆方程为 $\frac{x^2}{(l/2{)}^2}+\frac{y^2}{h^2}=1$.将 $x=11$、$y=4.5$、$h=6$ 代入得 $\frac{121}{(l/2{)}^2}+\frac{20.25}{36}=1$，解得 ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{121}{1-0.5625}\approx 276.6$，即 $\frac{l}{2}\approx 16.6$，故 $l\approx 33.3$ 米。 (2) 土方工程量正比于椭圆面积 $\frac{\pi }{4}lh$，故须在 $\frac{121}{(l/2{)}^2}+\frac{20.25}{h^2}=1$（即 $\frac{484}{l^2}+\frac{81}{4h^2}=1$）约束下求 $lh$ 最小。由均值不等式（或求导）得当 $\frac{484}{l^2}=\frac{81}{4h^2}$ 时 $lh$ 最小，结合约束得 $h\approx 6.4$ 米、$l\approx 31.1$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆隧道土方量最值
2. 核心方法：(1) 椭圆 $\frac{x^2}{(l/2{)}^2}+\frac{y^2}{h^2}=1$ 代入 $(\frac{22}{2},4.5)$ 求 $l\approx 33.3$；(2) 土方量 $\propto lh$，约束下 $h\approx 6.4,l\approx 31.1$ 最小
3. 避坑指南：应用题建系写椭圆方程，土方量正比于椭圆面积

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材椭圆的实际应用
2. 结论推广: 一般地，土方量正比于椭圆面积 $\frac{\pi }{4}lh$；建系写方程，代入约束条件求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-18 解-椭圆方程准线与轨迹
• 2004-全国卷II文-15 填-椭圆与双曲线共焦点
• 2005-湖南卷文-21 解-椭圆离心率与对称点综合