2003-上海文-08 填-等比数列前n项和性质

本题导读

本题考查等比数列的前 n 项和，以及各项和的概念。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 若首项为 $a_1$，公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和总小于这个数列的各项和，则首项 $a_1$，公比 $q$ 的一组取值可以是 $(a_1,q)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 各项和 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 存在需 $|q|<1$。
2. 前 $n$ 项和总小于 $S$ 需 $q>0$ 且 $a_1>0$。

✅【答案】

Success

$(1,\frac{1}{2})$

✍【详细解析】

Abstract

各项和存在需 $|q|<1$，此时各项和 $S=\frac{a_1}{1-q}$.前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 总小于 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 当且仅当 $a_1>0$ 且 $q>0$（此时 $1-q^n<1$ 恒成立）．故可取 $(a_1,q)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$（答案不唯一）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前n项和性质
2. 核心方法：前 $n$ 项和总小于各项和当且仅当 $q\in (0,1)$ 且 $a_1>0$，取 $(a_1,q)=(1,\frac{1}{2})$
3. 避坑指南：各项和 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 存在需 $|q|<1$，前 $n$ 项和小于 $S$ 需 $q>0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材等比数列各项和
2. 结论推广: 一般地，$q\in (0,1)$ 且 $a_1>0$ 时前 $n$ 项和总小于各项和；结合各项和存在条件 $|q|<1$ 与单调性定 $q$ 符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-04 填-等比数列极限
• 2004-全国卷III文-04 单-等比数列前n项和
• 2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和