2003-上海文-05 填-正四棱锥异面角

本题导读

本题考查正四棱锥中的异面直线所成角，以及二面角的运用。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 $60^{\circ }$，则异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角的大小等于 $\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $BC\parallel AD$，$PA$ 与 $BC$ 所成角即 $PA$ 与 $AD$ 所成角。
2. 建系（中心 O 为原点，高由二面角定）求 $\cos$ 值。

✅【答案】

Success

$\arctan 2$

✍【详细解析】

Abstract

设底面边长为 $2$，中心为 $O$，高为 $h$，取 $AB$ 中点 $M$，则侧面与底面所成二面角为 $\angle PMO=60^{\circ }$，故 $h=OM\cdot \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$.以 $O$ 为原点建系，$A(1,1,0)$，$D(-1,1,0)$，$P(0,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{PA}=(1,1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AD}=(-2,0,0)$.因 $BC\parallel AD$，$PA$ 与 $BC$ 所成角的余弦为 $\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{2}{\sqrt{5}\cdot 2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，故该角为 $\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}=\arctan 2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱锥异面角
2. 核心方法：侧面与底面成 $60^{\circ }$，$PA$ 与 $BC$ 所成角为 $\arctan 2$
3. 避坑指南：正四棱锥异面角用侧棱与底面对角线方向分解

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材空间角
2. 结论推广: 一般地，正四棱锥的异面角可转化为直角三角形中的反三角函数；分解侧棱方向，构造直角三角形求角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-18 解-正四棱锥对顶异面角
• 2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角
• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角