2003-上海文-02 填-三角方程求参数

本题导读

本题考查三角方程的求解，以及由特解反推参数。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 若 $x=\frac{\pi }{3}$ 是方程 $2\cos (x+\alpha )=1$ 的解，其中 $\alpha \in (0,2\pi )$，则 $\alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入 $x=\frac{\pi }{3}$ 得 $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$。
2. $\frac{\pi }{3}+\alpha =2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$，按 $\alpha \in (0,2\pi )$ 取舍。

✅【答案】

Success

$\frac{4\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=1$ 得 $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$，故 $\frac{\pi }{3}+\alpha =2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$，即 $\alpha =2k\pi$ 或 $\alpha =2k\pi -\frac{2\pi }{3}$（$k\in \mathbf{Z}$）．结合 $\alpha \in (0,2\pi )$ 得 $\alpha =\frac{4\pi }{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角方程求参数
2. 核心方法：$x=\frac{\pi }{3}$ 是 $2\cos (x+\alpha )=1$ 的解，得 $\cos (\frac{\pi }{3}+\alpha )=\frac{1}{2}$，结合 $\alpha \in (0,2\pi )$ 得 $\alpha =\frac{4\pi }{3}$
3. 避坑指南：由 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ 得 $\theta =2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$，按 $\alpha$ 范围取舍

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材三角方程
2. 结论推广: 一般地，$\cos \theta =\frac{1}{2}$ 的解为 $\theta =2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$；由特解反推参数，注意参数范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-14 单-三角方程解集
• 2005-全国卷III文-07 单-三角方程解集区间
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集