2003-上海文-01 填-三角和角公式求周期

本题导读

本题考查两角和的正弦公式，以及三角函数的周期。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 函数 $y=\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最小正周期 $T=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$ 合一。
2. 用 $\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角和角公式求周期
2. 核心方法：$y=\sin x\cos (x+\frac{\pi }{4})+\cos x\sin (x+\frac{\pi }{4})=\sin (2x+\frac{\pi }{4})$，最小正周期 $T=\pi$
3. 避坑指南：和角公式 $\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$ 合并后求周期

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材两角和正弦公式
2. 结论推广: 一般地，$\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$ 用于合并求周期；先和角公式合一，再按 $\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-09 填-三角函数最小正周期
• 2005-全国卷II文-01 单-辅助角公式求最小正周期
• 2003-北京文-15 解-三角化简求周期最值