本题导读
本题考查等差数列与等比数列的基础知识。重点在于运用基本量法，设出等差数列的公差 与等比数列的公比 ，利用已知条件建立非线性方程组，通过消元求解基本量，进而计算前 项和。
📌【题干】
Question
（2002年苏豫粤卷） 设 为等差数列， 为等比数列，，，，分别求出 及 的前 10 项的和 及 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 引入基本量：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 。
- 转化已知条件：
- 利用等差中项性质，将 转化为 。
- 利用等比中项性质，将 转化为 。
- 建立并求解方程组：联立上述关于 和 的关系式，求出 与 的值，进而转化为关于 和 的方程组进行求解。
- 求和：针对公比 的不同取值进行分类讨论，分别代入等差、等比数列前 项和公式求出 与 。
✅【答案】
Success
；公比为 时 ，公比为 时
✍【详细解析】
Abstract
解： 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 。 由等差数列的性质得：。 由等比数列的性质得：。
将上述性质代入已知条件 和 ，可得：
2a_3 = b_3 & \text{①} \\ b_3^2 = a_3 & \text{②} \end{cases}$$ 将①式代入②式得： $$(2a_3)^2 = a_3 \implies 4a_3^2 - a_3 = 0 \implies a_3(4a_3 - 1) = 0$$ 解得： $$a_3 = 0 \quad \text{或} \quad a_3 = \frac{1}{4}$$ 下面分两种情况讨论： **情况一：当 $a_3 = 0$ 时** 代入①式得 $b_3 = 0$。 根据通项公式，且 $a_1 = b_1 = 1$： $$a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2d = 0 \implies d = -\frac{1}{2}$$ $$b_3 = b_1 q^2 = 1 \cdot q^2 = 0 \implies q = 0$$ 此时等差数列的前 10 项和为： $$S_{10} = 10a_1 + \frac{10 \times 9}{2}d = 10 \times 1 + 45 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 10 - \frac{45}{2} = -\frac{25}{2}$$ 等比数列自第三项起均为 0，其前 10 项的和为： $$T_{10} = b_1 + b_2 + 0 + \dots + 0 = 1 + 1 \times 0 = 1$$ **情况二：当 $a_3 = \frac{1}{4}$ 时** 代入①式得 $b_3 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。 根据通项公式，且 $a_1 = b_1 = 1$： $$a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2d = \frac{1}{4} \implies 2d = -\frac{3}{4} \implies d = -\frac{3}{8}$$ $$b_3 = b_1 q^2 = 1 \cdot q^2 = \frac{1}{2} \implies q^2 = \frac{1}{2} \implies q = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 此时等差数列的前 10 项和为： $$S_{10} = 10a_1 + \frac{10 \times 9}{2}d = 10 \times 1 + 45 \times \left(-\frac{3}{8}\right) = 10 - \frac{135}{8} = -\frac{55}{8}$$ 对于等比数列的前 10 项和，由于 $q^2 = \frac{1}{2} \neq 1$，应用求和公式得： $$T_{10} = \frac{b_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{1 - (q^2)^5}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - q} = \frac{1 - \frac{1}{32}}{1 - q} = \frac{\frac{31}{32}}{1 - q}$$ - 当 $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： $$T_{10} = \frac{31}{32\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{31}{16(2 - \sqrt{2})} = \frac{31(2 + \sqrt{2})}{16(4 - 2)} = \frac{31(2 + \sqrt{2})}{32}$$ - 当 $q = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： $$T_{10} = \frac{31}{32\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{31}{16(2 + \sqrt{2})} = \frac{31(2 - \sqrt{2})}{16(4 - 2)} = \frac{31(2 - \sqrt{2})}{32}$$ 综上所述，所求结果为： $$\begin{cases} S_{10} = -\frac{25}{2} \\ T_{10} = 1 \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} S_{10} = -\frac{55}{8} \\ T_{10} = \frac{31(2 \pm \sqrt{2})}{32} \end{cases}$$
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等差中项与等比中项性质的代换，等差、等比数列前 项和公式的准确计算。
- 核心方法：结构简化法。优先利用中项性质求出中间项 ，比直接代入公差、公比能极大降低方程组的初级数算难度。
- 避坑指南：
求解 时，易漏掉 的非零解导致失项；
由 开方时，易漏掉负根 ；
当 时，无法直接使用等比求和公式的分式形式（分母不变，但需注意首项后的项全为0），应当采用定义法直接累加。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题将两个最基本的数列模型交织在两个交叉方程中，属于高考对数列基本量考查的经典大题，旨在测试考生的分类讨论意识与运算严谨度。
- 结论推广：若等差数列满足 ，等比数列满足 ，当已知两数列的首项相同，且交叉项满足 与 时，其核心中间项均满足 与 的抛物线交点方程模型。
🔗【关联脉络】
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