2004-湖北文-09 单-数列拆分等差等比

本题导读

本题考查数列的通项与前 $n$ 项和的关系，以及等差数列、等比数列的识别。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=a\left[2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]-b\left[2-(n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]$（$n=1,2,\cdots$），其中 $a$、$b$ 是非零常数，则存在数列 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 使得()

A. $a_n=x_n+y_n$，其中 $\{x_n\}$ 为等差数列，$\{y_n\}$ 为等比数列

B. $a_n=x_n+y_n$，其中 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都为等差数列

C. $a_n=x_n\cdot y_n$，其中 $\{x_n\}$ 为等差数列，$\{y_n\}$ 为等比数列

D. $a_n=x_n\cdot y_n$，其中 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都为等比数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化 $S_n=2(a-b)+\left[b(n+1)-a\right]{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。
2. $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(a+b-bn){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，$n=1$ 亦成立。
3. $x_n=a+b-bn$ 等差，$y_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 等比，$a_n=x_n{y}_n$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $r=\frac{1}{2}$，把题给前 $n$ 项和化为 $S_n=2(a-b)+\left[b(n+1)-a\right]r^{n-1}$.当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(a+b-bn)r^{n-1}$.当 $n=1$ 时，题给 $S_1=a$，而 $(a+b-b)r^0=a$，故对所有正整数 $n$ 均有 $a_n=(a+b-bn){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.其中 $a+b-bn$ 是关于 $n$ 的一次式，为等差数列；${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 为等比数列。故令 $x_n=a+b-bn$，$y_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，则 $a_n=x_n{y}_n$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列拆分等差等比
2. 核心方法：$S_n=2(a-b)+(b(n+1)-a){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，$a_n=S_n-S_{n-1}=(a+b-bn){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$（$n⩾2$），且 $n=1$ 亦成立；$x_n=a+b-bn$ 等差，$y_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 等比，$a_n=x_n{y}_n$
3. 避坑指南：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 后 $n=1$ 要单独检验（题设 $S_1=a$ 恰好一致）；区分”和”与”积”拆分

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列通项与等差等比拆分，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$S_n$ 含 $(n+1)q^{n-1}$ 时 $a_n$ 可拆为等差数列乘等比数列；$a_n=S_n-S_{n-1}$ 并检验 $n=1$，识别等差、等比因子

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2008-大纲Ⅱ文-18 解-等差等比综合求和
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合