2002-苏豫粤卷-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的实际应用，重点在于通过多项式乘法的分配律，将目标项 $x^3$ 的系数求解转化为二项展开式中特定项系数的组合计算。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） $(x^2+1)(x-2{)}^7$ 展开式中 $x^3$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项式通项：首先写出 $(x-2{)}^7$ 展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 多项式乘法搭配：由于外部乘数为 $(x^2+1)$，要得到展开式中的 $x^3$ 项，可以由以下两种情况通过加法原理求和：

• 用 $x^2$ 乘以 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^1$ 项；
• 用 $1$ 乘以 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^3$ 项。

3. 代入求值：分别求出这两种情况的对应系数，然后相加。

✅【答案】

Success

$1008$

✍【详细解析】

Abstract

解：对于二项式 $(x-2{)}^7$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{7-r}\cdot (-2{)}^r,(r=0,1,2,\dots ,7)$

考虑多项式 $(x^2+1)(x-2{)}^7$ 的乘法展开，产生 $x^3$ 项的途径有以下两种：

情况①：由 $(x^2+1)$ 中提出 $x^2$，与 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^1$ 项相乘。 令 $7-r=1⟹r=6$。 此时该项的系数为： $1\cdot C_7^6\cdot (-2{)}^6=7\cdot 64=448$

情况②：由 $(x^2+1)$ 中提出 $1$，与 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^3$ 项相乘。 令 $7-r=3⟹r=4$。 此时该项的系数为： $1\cdot C_7^4\cdot (-2{)}^4=C_7^3\cdot 16=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\cdot 16=35\cdot 16=560$

综上所述，展开式中 $x^3$ 的系数为两种情况之和： $448+560=1008$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 以及多项式相乘的组合计数。
2. 核心方法：利用分类讨论思想，将结构复杂的“多项式 $\times$ 二项式”模型，拆解为独立对应的底数幂指数相加关系。
3. 避坑指南：

• 易在写通项时漏掉负号，将 $(-2{)}^r$ 错写为 $2^r$；

• 组合数计算易发生笔误（如误将 $C_7^4$ 算错）；

• 需注意通项公式中的项数与 $r$ 的对应关系，牢记第 $r+1$ 项包含的是 $b$ 的 $r$ 次幂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二项式定理题型中的进阶常规题，通过引入外部多项式因子，考查学生对二项式通项公式的灵活调取能力。
2. 结论推广：对于形如 $(A{x}^m+B)(cx+d{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 项的系数求解，其等价于求 $A\cdot [x^{k-m}\text{在}(cx+d{)}^n\text{中的系数}]+B\cdot [x^k\text{在}(cx+d{)}^n\text{中的系数}]$。若对应的指数出现负数或大于 $n$，则该分支系数计为 $0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式
• 2006-广东卷-13 填-二项式指定项系数