2006-广东卷-13 填-二项式指定项系数

本题导读

展开式通项 $T_{k+1}=C_{11}^k{x}^{11-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k=C_{11}^k(-2{)}^k{x}^{11-2k}$，令 $11-2k=5$ 得 $k=3$，$x^5$ 的系数为 $C_{11}^3(-2{)}^3=165\times (-8)=-1320$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 在 ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^{11}$ 的展开式中，$x^5$ 的系数为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_{11}^k{x}^{11-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k=C_{11}^k(-2{)}^k{x}^{11-2k}$。
2. 令 $x$ 的指数 $11-2k=5$，得 $k=3$。
3. 系数 $=C_{11}^3(-2{)}^3=165\times (-8)=-1320$。

✅【答案】

Success

$-1320$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}=C_{11}^k{x}^{11-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k=C_{11}^k(-2{)}^k{x}^{11-2k}.$ 令 $11-2k=5$，得 $k=3$．故 $x^5$ 的系数为 $C_{11}^3(-2{)}^3=165\times (-8)=-1320.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式指定项系数

核心方法：通项 $C_{11}^k{x}^{11-k}(-2/x{)}^k=C_{11}^k(-2{)}^k{x}^{11-2k}$，令 $11-2k=5$ 得 $k=3$，系数 $C_{11}^3(-2{)}^3=-1320$

避坑指南：系数含 $(-2{)}^k$ 的符号；$x$ 指数 $11-2k$，解得 $k=3$ 不是 $k=5$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式指定项系数，通项公式

结论推广: $C_{11}^3(-2{)}^3=-1320$

方法推广: 由 $x$ 指数定 $k$，再算含符号的系数

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