2002-新课标文-16 填-奇函数判断

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及奇函数的判定。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有定义，下列函数 ① $y=-|f(x)|$；② $y=xf(x^2)$；③ $y=-f(-x)$；④ $y=f(x)-f(-x)$. 其中必为奇函数的有$\underline{}$.（要求填写正确答案的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐个代入 $-x$ 验证 $g(-x)=-g(x)$。
2. ②④ 必为奇函数。

✅【答案】

Success

②，④

✍【详细解析】

Abstract

② 设 $g(x)=xf(x^2)$，$g(-x)=-x\cdot f((-x{)}^2)=-xf(x^2)=-g(x)$，为奇函数；④ 设 $h(x)=f(x)-f(-x)$，$h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)$，为奇函数．①③ 不保证满足 $g(-x)=-g(x)$．故必为奇函数的是 ②，④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数判断

核心方法：② $y=xf(x^2)$ 与 ④ $y=f(x)-f(-x)$ 必为奇函数；①③不保证

避坑指南：代入 $-x$ 验证 $g(-x)=-g(x)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶性

结论推广：一般地，用 $g(-x)=-g(x)$ 验证奇函数

方法推广：逐个代 $-x$ 检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-16 单-奇函数图象变换
• 2005-江西卷文-13 填-奇函数定参数
• 2006-辽宁文-03 单-任意函数奇偶性构造