2006-辽宁文-03 单-任意函数奇偶性构造

本题导读

本题考查函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A. $f(x)f(-x)$ 是奇函数　　　　　　　　B. $f(x)|f(-x)|$ 是奇函数

C. $f(x)+f(-x)$ 是偶函数　　　　　　　　D. $f(x)-f(-x)$ 是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $g(x)=f(x)+f(-x)$，则 $g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)$，是偶函数。
2. 记 $h(x)=f(x)-f(-x)$，则 $h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)$，是奇函数而非偶函数。
3. A、B 中 $f(x)f(-x)$ 与 $f(x)|f(-x)|$ 的奇偶性不确定。
4. 故只有 C 正确。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=f(x)+f(-x)$，则 $g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)$，故 $g(x)$ 是偶函数，C 正确． 令 $h(x)=f(x)-f(-x)$，则 $h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)$，$h(x)$ 是奇函数，D 错． 对于 A、B，由于 $f(x)$ 任意，$f(x)f(-x)$、$f(x)|f(-x)|$ 的奇偶性无法确定（如 $f(x)=x+1$ 时均非奇非偶）． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：任意函数奇偶性构造

核心方法：奇偶性定义式代入验证

避坑指南：$g(x)=f(x)+f(-x)$ 满足 $g(-x)=g(x)$ 是偶函数；$f(x)-f(-x)$ 是奇函数；$f(x)f(-x)$ 与 $f(x)|f(-x)|$ 的奇偶性不确定，别想当然判为奇

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 任意函数奇偶性的构造，概念辨析题

结论推广: $f(x)+f(-x)$ 恒为偶函数、$f(x)-f(-x)$ 恒为奇函数，与 $f$ 本身奇偶性无关

方法推广: 任意函数可分解为奇函数与偶函数之和，$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期
• 2009-浙江卷文-08 单-量词与函数奇偶