2002-新课标文-05 单-三角不等式区间

本题导读

本题考查三角不等式，以及辅助角公式的运用。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 在 $(0,2\pi )$ 内，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$　　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)$　　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$　　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$。
2. 在 $(0,2\pi )$ 内 $x-\frac{\pi }{4}\in \left(0,\pi \right)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$，又 $x\in (0,2\pi )$，$x-\frac{\pi }{4}\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right)$，正弦为正需 $0<x-\frac{\pi }{4}<\pi$，即 $\frac{\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角不等式区间

核心方法：$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$，在 $(0,2\pi )$ 内得 $\frac{\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}$

避坑指南：辅助角合一后按正弦正区间取值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的图象与性质

结论推广：一般地，$\sin x>\cos x$ 用辅助角合一后按正弦区间判断

方法推广：辅助角化一，画图或按符号区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-06 单-锐角三角不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角