2005-北京卷文-06 单-锐角三角不等式

本题导读

本题考查两角和与差的三角函数与三角不等式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 对任意的锐角 $\alpha$，$\beta$，下列不等关系中正确的是()

A. $\sin (\alpha +\beta )>\sin \alpha +\sin \beta$　　　　　B. $\sin (\alpha +\beta )>\cos \alpha +\cos \beta$　　　　　C. $\cos (\alpha +\beta )<\sin \alpha +\sin \beta$　　　　　D. $\cos (\alpha +\beta )<\cos \alpha +\cos \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta <\cos \alpha \cos \beta$（锐角下 $\sin \alpha \sin \beta >0$）。
2. 又 $0<\cos \alpha <1$，$0<\cos \beta <1$，故 $\cos \alpha \cos \beta <\cos \alpha +\cos \beta$。
3. D 恒成立；A、B、C 用特值排除（如 $\alpha =\beta =30^{\circ }$，$1^{\circ }$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$，$\beta$ 都是锐角，所以 $\cos \alpha >0$，$\cos \beta >0$，且 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta <\cos \alpha \cos \beta <\cos \alpha +\cos \beta$．因此 D 正确． 例如取 $\alpha =\beta =30^{\circ }$，可知前两项均不成立；取 $\alpha =\beta =1^{\circ }$，则 $\cos (\alpha +\beta )>\sin \alpha +\sin \beta$，故第三项也不是恒成立的，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：锐角三角不等式

核心方法：和角公式展开放缩，特值排除

避坑指南：$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta <\cos \alpha \cos \beta <\cos \alpha +\cos \beta$；锐角下逐项验证，别凭感觉选

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与不等式综合

结论推广：锐角 $\alpha ,\beta$ 恒有 $\cos (\alpha +\beta )<\cos \alpha +\cos \beta$；$\sin (\alpha +\beta )$ 与 $\sin \alpha +\sin \beta$ 无恒定大小

方法推广：和角公式展开加放缩（或特值排除）是三角不等式选择题的常用手段

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.07 常见三角不等式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-06 单-二倍角公式
• 1998-全国卷理-06 单-三角函数值的符号