2002-大纲理-09 单-二次函数的图象与单调性

本题导读

本题考查二次函数在受限区间上的单调性问题。核心意图在于测试学生利用二次函数抛物线的对称轴特征，分析其在指定区间 $[0,+\infty )$ 上保持单调性的代数边界条件，并对充要条件的逻辑逻辑进行精准判定。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 函数 $y=x^2+bx+c,x\in [0,+\infty )$ 是单调函数的充要条件是 ()

A. $b\ge 0$　　　　　B. $b\le 0$　　　　　C. $b>0$　　　　　D. $b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（求对称轴）：根据一元二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的性质，由于二次项系数 $a=1>0$，抛物线开口向上，其对称轴方程为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$。
2. 第二步（分析单调区间）：开口向上的抛物线在其对称轴左侧 $\left(-\infty ,-\frac{b}{2}\right]$ 单调递减，在对称轴右侧 $\left[-\frac{b}{2},+\infty \right)$ 单调递增。
3. 第三步（区间包含关系建立）：要使函数在区间 $[0,+\infty )$ 上是单调函数，该区间必须是其单调增区间 $\left[-\frac{b}{2},+\infty \right)$ 的子集。由此建立关于 $-\frac{b}{2}$ 与 $0$ 的代数不等式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

已知二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的二次项系数为 $1>0$，因此其对应的抛物线开口向上。

该抛物线的对称轴方程为： $x=-\frac{b}{2}$

因为抛物线开口向上，所以函数的单调性分布为：

• 在区间 $\left(-\infty ,-\frac{b}{2}\right]$ 上单调递减；
• 在区间 $\left[-\frac{b}{2},+\infty \right)$ 上单调递增。

题目要求函数在区间 $[0,+\infty )$ 上是单调函数。由于该区间包含 $+\infty$，因此它只能作为单调递增区间的子集，而不可能成为单调递减区间的子集。

故区间 $[0,+\infty )$ 必须完全包含在单调递增区间 $\left[-\frac{b}{2},+\infty \right)$ 内，即满足几何关系： $-\frac{b}{2}\le 0$

两边同时乘以 $-2$，根据不等式的性质，不等号方向发生反转： $b\ge 0$

因此，函数 $y=x^2+bx+c$ 在 $x\in [0,+\infty )$ 上是单调函数的充要条件是 $b\ge 0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的对称轴位置对局部单调性的控制；充要条件等价转换。
2. 核心方法：轴心平移判别法。
3. 避坑指南：

• 端点等号漏判陷阱：部分学生容易由于混淆“严格单调”而认为对称轴顶点的导数为 0 从而不包含等号，错选 (C)。必须明确，当 $-\frac{b}{2}=0$（即 $b=0$）时，函数为 $y=x^2+c$，在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递增，完全符合单调函数的定义，因此边界处的等号必须严格保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学函数板块的最经典必考基础题，主要考查对二次函数“三要素”（开口、对称轴、定义域区间）互动关系的深层次理解。
2. 结论推广： 对于标准一元二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 在区间 $[k,+\infty )$ 上是单调函数的通用充要条件：

• 若 $a>0$（开口向上），则区间必须落在对称轴右侧，充要条件为 $-\frac{b}{2a}\le k$；
• 若 $a<0$（开口向下），则区间必须落在对称轴右侧（此时为单调递减），充要条件同样为 $-\frac{b}{2a}\le k$。 综上，无论开口方向如何，只要包含正无穷区间的单调性问题，其核心本质均等价于对称轴不大于区间的左端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断