2002-大纲文-20 解-分段函数最值

本题导读

本题考查分段函数与最值。核心在于分段去绝对值后比较。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 设函数 $f(x)=x^2+|x-2|-1$（$x\in \mathbf{R}$）.

(1) 判断 $f(x)$ 的奇偶性；

(2) 求函数 $f(x)$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $f(0),f(2),f(-2)$ 判断奇偶。
2. 分段去绝对值求各段最小值。

✅【答案】

Success

(1) 既非奇函数也非偶函数

(2) 最小值为 $\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(0)=1\ne 0$，非奇函数；$f(2)=3$、$f(-2)=7$，$f(-2)\ne f(2)$，非偶函数． (2) 按 $x<2$ 与 $x\ge 2$ 分段：$x<2$ 时 $f(x)=x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$，最小值 $\frac{3}{4}$；$x\ge 2$ 时 $f(x)=x^2+x-3$ 递增，最小值 $f(2)=3$．比较两段得最小值为 $\frac{3}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数最值

核心方法：分段 $x<2$ 时 $f=x^2-x+1$，$x\ge 2$ 时 $f=x^2+x-3$；非奇非偶，最小值 $\frac{3}{4}$

避坑指南：分段去绝对值，比较两段最小值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分段函数

结论推广：一般地，含绝对值函数分段后求最值

方法推广：分段去绝对值比较最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-13 填-分段函数解不等式
• 2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式
• 2004-福建文-14 填-分段函数不等式