2002-大纲文-18 解-等差数列相遇问题

本题导读

本题考查等差数列在实际相遇问题中的应用。核心在于用路程和列方程。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 甲、乙物体分别从相距 $70$ 米的两处同时相向运动.甲第 $1$ 分钟走 $2$ 米，以后每分钟比前 $1$ 分钟多走 $1$ 米，乙每分钟走 $5$ 米.

(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 $1$ 分钟多走 $1$ 米，乙继续每分钟走 $5$ 米，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲 $n$ 分钟走 $\frac{n(n+3)}{2}$ 米，乙走 $5n$ 米，和为 $70$。
2. 第二次相遇按折返分段计算。

✅【答案】

Success

(1) $7$ 分钟

(2) $15$ 分钟

✍【详细解析】

Abstract

(1) 甲 $n$ 分钟所走 $2+3+\cdots +(n+1)=\frac{n(n+3)}{2}$，乙走 $5n$，第一次相遇 $\frac{n(n+3)}{2}+5n=70$，即 $n^2+13n-140=0$，解得 $n=7$（舍负），故 $7$ 分钟相遇． (2) 甲第 $10$ 分钟末走 $65$ 米、第 $11$ 分钟内到达乙的起点；乙 $14$ 分钟末到达甲的起点．到 $14$ 分钟时甲累计 $S_{14}=\frac{14\times 17}{2}=119$ 米，折返后走了 $49$ 米，距甲起点 $21$ 米．第 $15$ 分钟内甲速度 $16$ 米/分、乙 $5$ 米/分，相向而行，$1$ 分钟后各走到距甲起点 $5$ 米处相遇，故第二次相遇在 $15$ 分钟．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列相遇问题

核心方法：甲 $n$ 分钟走 $\frac{n(n+3)}{2}$，乙走 $5n$，和 $70$ 得 $n=7$；第二次相遇在第 $15$ 分钟

避坑指南：等差数列求和列方程，折返分段计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列的应用

结论推广：一般地，相遇问题用路程和列方程

方法推广：等差数列求和列方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-19 解-绝对值不等式与行程
• 2003-上海文-08 填-等比数列前n项和性质
• 2006-安徽文-21 解-等差通项错位相减