2002-大纲文-16 填-抛物线方程条件

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及焦点、通径等参数。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ① 焦点在 $y$ 轴上；② 焦点在 $x$ 轴上；③ 抛物线上横坐标为 $1$ 的点到焦点的距离等于 $6$；④ 抛物线的通径的长为 $5$；⑤ 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为 $(2,1)$. 能使这抛物线方程为 $y^2=10x$ 的条件是$\underline{}$.（要求填写合适条件的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^2=10x$ 中 $2p=10$，$p=5$，焦点 $\left(\frac{5}{2},0\right)$、通径 $10$。
2. 逐条对照验证。

✅【答案】

Success

②，⑤

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=10x$ 即 $y^2=2px$ 中 $p=5$，焦点为 $\left(\frac{5}{2},0\right)$ 在 $x$ 轴上（②成立，①不成立），通径长 $2p=10$（④不成立）．横坐标为 $1$ 的点 $y^2=10$，到焦点的距离为 $\sqrt{{\left(1-\frac{5}{2}\right)}^2+10}=\frac{7}{2}\ne 6$（③不成立）．点 $H(2,1)$ 与焦点 $F\left(\frac{5}{2},0\right)$ 的连线斜率为 $\frac{1-0}{2-\frac{5}{2}}=-2$，$OH$ 斜率为 $\frac{1}{2}$，二者之积 $-1$，故 $OH\perp FH$，⑤成立．故条件为 ②，⑤．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线方程条件

核心方法：$y^2=10x$ 中 $p=5$，焦点 $\left(\frac{5}{2},0\right)$ 在 $x$ 轴，通径 $2p=10$；由 $OH\perp FH$ 验证条件⑤成立

避坑指南：逐条对照抛物线标准方程的参数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的标准方程

结论推广：一般地，$y^2=2px$ 的焦点、通径由 $p$ 确定

方法推广：逐条对照抛物线参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-02 填-抛物线焦点坐标
• 2003-大纲文-03 单-抛物线准线方程
• 2007-广东文-11 填-抛物线方程定点代入