2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换与代数求值。核心意图在于测试学生利用二倍角公式将目标代数式化简为关于单角三角函数的齐次分式，再通过代入已知的余切值求得最终结果的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 若 $\frac{\cot \theta -1}{2\cot \theta +1}=1$，则 $\frac{\cos 2\theta }{1+\sin 2\theta }$ 的值为 ()

A. 3　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解已知分式方程，求出 $\cot \theta$ 的值。
2. 将目标分式中的二倍角展开，利用 $1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ 进行因式分解与约分。
3. 将化简后的表达式转化为关于 $\cot \theta$ 的式子，代入数值求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由已知等式 $\frac{\cot \theta -1}{2\cot \theta +1}=1$，解方程得： $\cot \theta -1=2\cot \theta +1⟹\cot \theta =-2$

将目标代数式中的二倍角及常数 $1$ 展开化简： $\frac{\cos 2\theta }{1+\sin 2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta }$ 利用平方差公式与完全平方公式分解因式： $=\frac{(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )}{(\cos \theta +\sin \theta {)}^2}$ 约分得： $=\frac{\cos \theta -\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }$

分子分母同除以 $\sin \theta$ 以构造 $\cot \theta$： $=\frac{\cot \theta -1}{\cot \theta +1}$

将 $\cot \theta =-2$ 代入： $=\frac{-2-1}{-2+1}=\frac{-3}{-1}=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系；二倍角公式的展开应用；隐含关系 $1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ 的代换技巧。
2. 核心方法：分子分母同除以正弦或余弦进行齐次式化简法。
3. 避坑指南：若先由 $\cot \theta =-2$ 求出 $\tan \theta =-\frac{1}{2}$，再代入“万能公式”计算虽可行，但存在计算繁琐易错的风险。直接利用 $1+\sin 2\theta =(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$ 约分是代数变形的最优路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角函数求值中的“知一求一”问题，属高中数学教材中齐次式化简经典题型的变式。
2. 结论推广：在三角恒等变换中，遇到形如 $\frac{A\cos 2\theta +B\sin 2\theta }{C\cos 2\theta +D\sin 2\theta +E}$ 的分式，若已知 $\tan \theta$ 或 $\cot \theta$，常通过将常数项 $E$ 改写为 $E({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )$ 从而将整体转化为关于 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的二次齐次式，进而通过同除以 ${\cos }^2\theta$ 或 ${\sin }^2\theta$ 求解。其中，$1\pm \sin 2\theta =(\sin \theta \pm \cos \theta {)}^2$ 是高频且重要的代数构型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-江苏卷-15 解-余弦定理
• 1977-北京理-04 解-同角三角函数基本关系
• 2012-安徽卷(理)-16 解-两角和差