2003-北京卷理-05 单-极坐标与直角坐标的互化

本题导读

本题考查极坐标方程向直角坐标方程的转换。核心意图在于测试学生利用极坐标与直角坐标的经典代换公式，将含有二倍角复合结构的极坐标方程完整转化为直角坐标系下的二元二次方程，从而通过标准代数式判定曲线的几何形状。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 5. 极坐标方程 ${\rho }^2\cos 2\theta -2\rho \cos \theta =1$ 表示的曲线是()

A. 圆　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 抛物线　　　　　D. 双曲线

🔍【思路分析】

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1. 二倍角展开：观察极坐标方程，前项含有 $\cos 2\theta$。为了利用基本的互化公式，需要先套用三角函数二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 将其展开，使角度统一为 $\theta$。

2. 坐标互化结构对齐：回想极坐标与直角坐标的互化基本公式： $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$ 将展开后的极坐标方程两端分配乘积，使之完全拼凑出 $\rho \cos \theta$ 与 $\rho \sin \theta$ 的组合形态。

3. 直角坐标方程判定：将 $x,y$ 代入消去 $\rho ,\theta$，整理得到关于 $x,y$ 的直角坐标方程，根据二次项系数的符号判定曲线类型。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：套用二倍角公式展开极坐标方程 已知原极坐标方程为： ${\rho }^2\cos 2\theta -2\rho \cos \theta =1$ 利用余弦的二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 代入上式： ${\rho }^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )-2\rho \cos \theta =1$ 去括号展开，进行代数重组： $(\rho \cos \theta {)}^2-(\rho \sin \theta {)}^2-2(\rho \cos \theta )=1\text{(1)}$

第二步：代入互化公式转化为直角坐标方程 将直角坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 直接代入 ① 式中： $x^2-y^2-2x=1$

第三步：标准配方与曲线类型判定 将上述直角坐标方程关于 $x$ 进行配方，以净化几何结构： $(x^2-2x+1)-y^2=1+1$ $(x-1{)}^2-y^2=2$ 两边同时除以常数项 2，化为标准方程形式： $\frac{(x-1{)}^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 该方程满足标准双曲线方程形式 $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（具体为中心在 $(1,0)$ 的等轴双曲线）。 因此，该极坐标方程表示的曲线是双曲线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式在极坐标变形中的桥梁作用；极坐标项向直角坐标乘积组合的精确拼凑。
2. 核心方法：坐标系互化解析法。
3. 避坑指南：

   • 盲目凑 ${\rho }^2$ 陷阱：部分学生一看到前项有 ${\rho }^2$ 且含有 $\cos 2\theta$，就想当然地盲目去把 ${\rho }^2$ 换成 $x^2+y^2$，这会导致 $\cos 2\theta$ 无法消去。牢记：极坐标化直角坐标的核心是“找组合”，即看到 $\cos \theta$ 必须设法配上一个单底 $\rho$ 组成 $\rho \cos \theta =x$。本题中 ${\rho }^2{\cos }^2\theta$ 刚好能严丝合缝地化为 $(\rho \cos \theta {)}^2=x^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于基础的坐标系互化问题，考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及曲线类型的判定。

2. 结论推广: 【正弦/余弦倍角型极坐标特征定理】 对于形如 ${\rho }^2\cos 2\theta -2k\rho \cos \theta =m$ 的通用极坐标方程：

• 经过二倍角统一展开及直角坐标互化后，其标准代数形态恒能退化为： $(x-k{)}^2-y^2=m+k^2$
• 形状判定律：只要满足 $m+k^2\ne 0$，因为 $x^2$ 项与 $y^2$ 项的系数符号一正一负，该方程恒表示双曲线（当 $m+k^2>0$ 时焦点在平行于 $x$ 轴的直线上，反之焦点在平行于 $y$ 轴的直线上）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01 解-分数指数幂的运算法则
• 1986-广东文-16 单-三角恒等变换
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换