2002-北京卷文-18 解-多面体二面角与体积

本题导读

本题考查多面体的二面角与体积估算。核心在于求二面角正切并比较估算与精确体积。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 如图，在多面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 $E$，$F$ 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 $c$，$d$ 与 $a$，$b$，且 $a>c$，$b>d$，两底面间的距离为 $h$.

(1) 求侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的正切值；

(2) 在估算该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{估}=S_{中截面}\cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V=\frac{h}{6}(S_{上底面}+4S_{中截面}+S_{下底面})$，试判断 $V_{估}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用相似比例求二面角正切。
2. 中截面面积与体积公式比较。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{2h}{b-d}$

(2) $V_{估}<V$，且 $V-V_{估}=\frac{h}{12}(a-c)(b-d)>0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由两底面平行且相对的侧面与同一底面所成二面角相等，结合上下底长宽差与距离 $h$，可得侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面所成二面角的正切值为 $\frac{2h}{b-d}$． (2) 中截面长、宽分别为 $\frac{a+c}{2}$、$\frac{b+d}{2}$，故 $S_{中截面}=\frac{(a+c)(b+d)}{4}$，$V_{估}=\frac{(a+c)(b+d)}{4}h$．由精确公式 $V=\frac{h}{6}\left[ab+4\cdot \frac{(a+c)(b+d)}{4}+cd\right]=\frac{h}{6}(ab+ac+ad+bc+bd+cd+...)$，作差得 $V-V_{估}=\frac{h}{12}(a-c)(b-d)>0$（因 $a>c$，$b>d$），故 $V_{估}<V$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多面体二面角与体积

核心方法：侧面与底面二面角正切 $\frac{2h}{b-d}$；$V_{估}<V$，$V-V_{估}=\frac{h}{12}(a-c)(b-d)>0$

避坑指南：中截面近似公式与精确体积比较

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材多面体

结论推广：一般地，棱台中截面近似公式与精确体积比较

方法推广：二面角正切与体积差

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角
• 2004-福建文-19 解-空间向量与二面角
• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角