2002-北京卷文-09 单-分组分配计数

本题导读

本题考查排列组合，以及分组分配问题。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） $5$ 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少 $1$ 本，则不同的分法的种数为()

A. $480$　　　　　　B. $240$　　　　　　C. $120$　　　　　　D. $96$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 必有一人得 $2$ 本、其余各 $1$ 本。
2. 选 $2$ 本给同一人，其余全排列。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

从 $5$ 本中选 $2$ 本作为”多出的那本”有 $C_5^2=10$ 种，把这两本视为一个整体与其余 $3$ 本共 $4$ 个元素分给 $4$ 个学生全排列有 $4!=24$ 种，共 $10\times 24=240$ 种，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分组分配计数

核心方法：先取 $2$ 本给同一学生（$C_5^2=10$），其余 $3$ 本全排列（$3!=6$）得 $60$；再考虑选出的学生 $4$ 种，共 $10\times 6\times 4=240$

避坑指南：5 本分 4 人至少 1 本即一人得 2 本、其余各 1 本

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材排列组合

结论推广：一般地，$n$ 本分 $m$ 人至少一本可先定多本者

方法推广：先定多本者再全排列

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-09 单-种植排列计数
• 2004-全国卷III文-12 单-分组分配计数
• 2004-全国卷IV文-09 单-分组分配计数