2002-北京卷文-05 单-球的体积与表面积

本题导读

本题考查球的体积与表面积，以及半径变化的比例关系。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） $64$ 个直径都为 $\frac{a}{4}$ 的球，记它们的体积之和为 $V_{甲}$，表面积之和为 $S_{甲}$；一个直径为 $a$ 的球，记其体积为 $V_{乙}$，表面积为 $S_{乙}$，则()

A. $V_{甲}>V_{乙}$，$S_{甲}>S_{乙}$　　　　　　　　　　　B. $V_{甲}<V_{乙}$，$S_{甲}<S_{乙}$

C. $V_{甲}=V_{乙}$，$S_{甲}>S_{乙}$　　　　　　　　　　　D. $V_{甲}=V_{乙}$，$S_{甲}=S_{乙}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 小球半径 $\frac{a}{8}$、大球半径 $\frac{a}{2}$。
2. 比较体积和与表面积和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

小球半径为 $\frac{a}{8}$，$V_{甲}=64\times \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{8}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=V_{乙}$；$S_{甲}=64\times 4\pi {\left(\frac{a}{8}\right)}^2=4\pi a^2>4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=S_{乙}$．故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的体积与表面积

核心方法：$64$ 个小球体积和 $=64\cdot \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{8}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=V_{乙}$；表面积和 $=64\cdot 4\pi {\left(\frac{a}{8}\right)}^2=4\pi a^2>4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=S_{乙}$

避坑指南：体积与半径立方、表面积与半径平方的差异

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材球的体积与表面积

结论推广：一般地，半径缩小 $k$ 倍体积缩 $k^3$、表面积缩 $k^2$

方法推广：体积立方、面积平方关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-重庆文-16 填-球体积应用
• 2008-天津文-13 填-球体积与表面积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积