2002-上海卷理-20 解-分段函数应用题

本题导读

本题考查分段函数在实际生活经济应用场景中的应用。核心意图在于测试学生将标价转化为实际消费金额，并根据奖券阶梯范围建立分段函数优惠率模型，通过分类讨论法求解对应自变量取值范围的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额的范围	$[200,400)$	$[400,500)$	$[500,700)$	$[700,900)$	$\cdots$
获得奖券的金额	30	60	100	130	$\cdots$

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为： $400\times 0.2+30=110$ (元)，设购买商品得到的优惠率 $P=\frac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}$.试问：

(1) 若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

(2) 对于标价在 $[500,800]$ (元) 内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 $\frac{1}{3}$ 的优惠率？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：已知商品标价 $x=1000$，先计算其实际消费金额 $0.8x$。对照表格判断消费金额所属的区间，确定其获得的奖券金额，进而求出总优惠额与优惠率。
2. 第二问逻辑：设商品标价为 $x$ 元， $x\in [500,800]$。首先建立消费金额 $0.8x$ 的取值区间 $[400,640]$。由于该区间跨越了表格中的两个不同优惠档位（即 $[400,500)$ 和 $[500,700)$），必须引入分类讨论法，分别列出不等式 $P\ge \frac{1}{3}$ 求解并取并集。

✅【答案】

Success

(1) 优惠率为 $33\%$

(2) 标价在 $[625,750]$ 元内

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）若购买一件标价为 1000 元的商品，求优惠率

当商品标价 $x=1000$ 元时： 实际消费金额为： $1000\times 80\%=800\text{ 元}$

对照奖券方案表格，消费金额 800 元属于 $[700,900)$ 区间，因此可获得的奖券金额为 130 元。 顾客获得的购买商品总优惠额为： $1000\times (1-80\%)+130=200+130=330\text{ 元}$

根据优惠率定义式计算： $P=\frac{330}{1000}=33\%$

答：顾客得到的优惠率是 $33\%$。

解：（2）对于标价在 $[500,800]$ 元内的商品，求满足优惠率不小于 $\frac{1}{3}$ 的标价范围

设商品的标价为 $x$ 元，已知 $x\in [500,800]$。 则实际消费金额为 $0.8x$。由于 $x$ 的范围限制，其实际消费金额的取值范围为： $0.8\times 500\le 0.8x\le 0.8\times 800⟹400\le 0.8x\le 640$

结合奖券阶梯表格，消费金额范围 $[400,640]$ 横跨了两个促销档位，需分类讨论：

情况 ①：当消费金额满足 $400\le 0.8x<500$ 时 解得标价范围为： $500\le x<625$ 此时对应的奖券金额为 60 元。总优惠额为 $0.2x+60$。 根据题意建立优惠率不等式： $\frac{0.2x+60}{x}\ge \frac{1}{3}$ 因为 $x>0$，两边同乘以 $3x$： $3(0.2x+60)\ge x⟹0.6x+180\ge x⟹0.4x\le 180⟹x\le 450$ 将此解集与当前前提条件 $500\le x<625$ 取交集，结果为空集 $\varnothing$。

情况 ②：当消费金额满足 $500\le 0.8x\le 640$ 时 解得标价范围为： $625\le x\le 800$ 此时对应的奖券金额为 100 元。总优惠额为 $0.2x+100$。 根据题意建立优惠率不等式： $\frac{0.2x+100}{x}\ge \frac{1}{3}$ 两边同乘以 $3x$： $3(0.2x+100)\ge x⟹0.6x+300\ge x⟹0.4x\le 300⟹x\le 750$ 将此解集与当前前提条件 $625\le x\le 800$ 取交集，得到： $625\le x\le 750$

综合情况 ① 与情况 ② 的解集，可得商品标价的取值范围是 $[625,750]$。

答：顾客购买标价在 $625$ 元到 $750$ 元之间的商品，可得到不小于 $\frac{1}{3}$ 的优惠率。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由实际问题向分段函数数学模型的抽象；含自变量约束的不等式组分类讨论。
2. 核心方法：分类讨论法、区间夹逼法。
3. 避坑指南：

• 标价与消费金额混淆陷阱：表格中的第一行区间是“消费金额”而非“商品标价”。部分学生容易直接令 $400\le x<500$，导致选错奖券档位，必须经过 $0.8$ 的打折系数转换后方可对齐表格。
• 分段区间漏取交集：在情况 ① 中算出 $x\le 450$ 时，若忘记与该段的前提限制条件 $500\le x<625$ 校验，盲目将其作为有效解代入，会导致最终结果扩大或错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第二十题，属于传统应用题板块，侧重考查考生的应用意识，即如何将复杂的商业促销规则精简为分段显式代数不等式。
2. 结论推广： 阶梯式商业促销在数学上对应跳跃型阶梯分段函数。通项优惠率可表示为： $P(x)=0.2+\frac{M_i}{x}(0.8x\in [{\text{区间}}_i])$ 由于 $\frac{M_i}{x}$ 在各子区间内是关于 $x$ 的减函数，这意味着在同一奖券档位内，标价越低（越接近该档位左边界），实际优惠率越高；一旦跨越边界进入下一档位，优惠率会发生向上跳跃。利用这一单调性特征，可直接判定每一分段内取得最大优惠率的极值位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性