2002-上海卷文-21 解-指数函数对数数列

本题导读

本题考查指数函数的解析式与数列的综合，核心在于由两点确定指数函数，再将对数转化为等差数列研究通项与和。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=a\times b^x$ 的图象过点 $A\left(4,\frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 记 $a_n={\log }_{2}f(n)$，$n$ 是正整数，$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_n{S}_n⩽0$；

(3) 对于(2)中的 $a_n$ 与 $S_n$，整数 $96$ 是否为数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入两点解 $a,b$。
2. $a_n={\log }_{2}f(n)=2n-10$，$S_n=n(n-9)$。
3. 解 $a_n{S}_n=2n(n-5)(n-9)\le 0$，再检验 $96$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=\frac{4^x}{1024}$

(2) $n=5,6,7,8,9$

(3) $96$ 不是数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\{\begin{array}{l}a{b}^4=\frac{1}{4}\\ a{b}^5=1\end{array}$ 两式相除得 $b=4$，代入得 $a=\frac{1}{1024}$，故 $f(x)=\frac{4^x}{1024}$． （2）$a_n={\log }_2\frac{4^n}{1024}={\log }_2{4}^n-{\log }_{2}1024=2n-10$，$\{a_n\}$ 为首项 $-8$、公差 $2$ 的等差数列，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(-8+2n-10)}{2}=n(n-9)$．故 $a_n{S}_n=(2n-10)n(n-9)=2n(n-5)(n-9)$．由 $a_n{S}_n\le 0$ 得 $(n-5)(n-9)\le 0$（因 $2n>0$），故 $5\le n\le 9$，即 $n=5,6,7,8,9$． （3）$a_5{S}_5=0$，$a_6{S}_6=-36$，$a_7{S}_7=-56$，$a_8{S}_8=-48$，$a_9{S}_9=0$；当 $n\le 4$ 时 $a_n<0$ 且 $S_n<0$ 故 $a_n{S}_n>0$，具体 $a_1{S}_1=8$，$a_2{S}_2=32$，$a_3{S}_3=64$，$a_4{S}_4=40$；当 $n\ge 10$ 时 $a_n>0$ 且 $S_n>0$ 故 $a_n{S}_n>0$，且 $a_{10}{S}_{10}=100$ 后递增．$96$ 不在这些值中，故 $96$ 不是数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数对数数列

核心方法：(1) 由 $A(4,\frac{1}{4}),B(5,1)$ 得 $b=4$，$a=\frac{1}{1024}$，$f(x)=\frac{1}{1024}\cdot 4^x$；(2) $a_n={\log }_2(\frac{1}{1024}\cdot 4^n)=2n-10$，$S_n=n(n-9)$，$a_n{S}_n=2n(n-5)(n-9)\le 0$ 得 $n=5,\dots ,9$；(3) 检验 $96$ 非 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项

避坑指南：指数函数两点定参数，$a_n={\log }_{2}f(n)$ 化等差数列，解 $a_n{S}_n\le 0$ 注意 $2n-10$ 非 $2n-11$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材指数函数与数列

结论推广：一般地，$a_n={\log }_{2}f(n)$ 化等差数列，解 $a_n{S}_n\le 0$

方法推广：先求解析式，再求 $a_n,S_n$，解不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-20 解-数列通项与对数求和