2006-上海文-20 解-数列通项与对数求和

本题导读

本题考查数列的通项与前 n 项和。核心在于由 a_n 与 S_n 关系求通项。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且对任意正整数 $n$，$a_n+S_n=4096$。 （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）设数列 $\{{\log }_2{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，对数列 $\{T_n\}$，从第几项起 $T_n<-509$？

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n=1$ 时 $a_1+S_1=2a_1=4096$，$a_1=2048$。
2. $a_{n+1}+S_{n+1}=4096$ 与 $a_n+S_n=4096$ 相减得 $2a_{n+1}=a_n$，即 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}$。
3. 故 $\{a_n\}$ 是首项 $2048$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。
4. ${\log }_2{a}_n={\log }_2\left(2048\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right)=11-(n-1)=12-n$。
5. $T_n=\sum (12-k)=12n-\frac{n(n-1)}{2}$，解 $T_n<-509$。

✅【答案】

Success

(1)$a_n=2048{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

(2)从第 $46$ 项起

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n=1$ 时，$a_1+S_1=2a_1=4096$，故 $a_1=2048$。 当 $n⩾1$ 时，由 $a_{n+1}+S_{n+1}=4096$ 与 $a_n+S_n=4096$ 相减得 $(a_{n+1}-a_n)+(S_{n+1}-S_n)=0$，即 $(a_{n+1}-a_n)+a_{n+1}=0$，故 $2a_{n+1}=a_n$，$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}$。 所以 $\{a_n\}$ 是首项 $2048$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $a_n=2048{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。 （2）${\log }_2{a}_n={\log }_2\left(2048\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right)=11-(n-1)=12-n$。 于是 $T_n={\sum }_{k=1}^n(12-k)=12n-\frac{n(n+1)}{2}$。 令 $T_n<-509$，即 $12n-\frac{n(n+1)}{2}<-509$， 整理得 $n^2-23n-1018>0$，解得 $n>\frac{23+\sqrt{4601}}{2}\approx 45.4$（取正根）， 故从第 $46$ 项起 $T_n<-509$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列通项与对数求和

核心方法：由 a_n+S_n 关系求通项、对数求和判界

避坑指南：$2a_{n+1}=a_n$ 得公比 $\frac{1}{2}$，${\log }_2{a}_n=12-n$，$T_n=12n-\frac{n(n+1)}{2}$；解 $T_n<-509$ 取最小正整数 $n=46$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 数列通项与对数数列求和，综合题

结论推广: 由 $a_n+S_n$ 关系求通项（相邻两式相减得 $2a_{n+1}=a_n$），对数数列求和解不等式

方法推广: $a_n$ 与 $S_n$ 混合关系用相邻相减法求通项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-20 解-等比数列与对数求和
• 2011-新课标Ⅰ文-17 解-等比数列与对数求和