2002-上海卷文-11 填-平方递推数列通项

本题导读

本题考查递推数列的通项公式，以及平方递推的处理。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=3$，且 $a_{n+1}=a_n^2$（$n$ 是正整数），则数列的通项 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_{n+1}=a_n^2$ 递推得 $a_n=3^{2^{n-1}}$。
2. 取对数可验证 $\lg a_{n+1}=2\lg a_n$。

✅【答案】

Success

$3^{2^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2$ 得 $a_2=3^2$，$a_3=(3^2{)}^2=3^4$，$a_4=(3^4{)}^2=3^8$，归纳得 $a_n=3^{2^{n-1}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平方递推数列通项

核心方法：$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2$，取对数 $\lg a_{n+1}=2\lg a_n$，$a_n=3^{2^{n-1}}$

避坑指南：平方递推用对数化线性，指数为 $2^{n-1}$ 而非 $2n-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材递推数列

结论推广：一般地，$a_{n+1}=a_n^2$ 型平方递推取对数化线性

方法推广：取对数后指数为 $2^{n-1}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-14 填-等比数列通项