2002-上海卷文-02 填-向量数量积运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角的余弦。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，且 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=5$，则 $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开 $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=2|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}$。
2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 5\times \cos 120^{\circ }=-5$。

✅【答案】

Success

$13$

✍【详细解析】

Abstract

$(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=2|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2^2-2\times 5\times \cos 120^{\circ }=8-10\times \left(-\frac{1}{2}\right)=8+5=13$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积运算

核心方法：$(2a-b)\cdot a=2|a{|}^2-a\cdot b=2\times 4-2\times 5\times \cos 120^{\circ }=8+5=13$

避坑指南：数量积展开用 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$，夹角 $120^{\circ }$ 的余弦为 $-\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材平面向量数量积

结论推广：一般地，$(2a-b)\cdot a=2|a{|}^2-a\cdot b$

方法推广：展开后用模与夹角余弦代入计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-08 单-向量数量积与夹角
• 2004-全国卷IV文-15 填-向量数量积与夹角