2001-豫粤卷-19 解-棱锥的体积公式

本题导读

本题考查棱锥的体积公式。核心在于空间向量坐标法、几何公式直接代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中， $\angle ABC=90^{\circ }$， $SA\perp \text{面 }ABCD$，$SA=AB=BC=1$，$AD=\frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积；

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问思路：

• 底面 $ABCD$ 是直角梯形，其中 $\angle ABC=90^{\circ }$，表明 $AB$ 为梯形的高， $AD$ 和 $BC$ 为上、下底边。利用梯形面积公式 $S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot AB$ 算出底面积。
• 已知 $SA\perp \text{面 }ABCD$，说明 $SA$ 为该四棱锥的整体高。直接套用锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$ 求得体积。

2. 第(2)问思路：

• 建立坐标系：以点 $A$ 为原点，沿 $AB$ 方向为 $x$ 轴，沿 $AD$ 方向为 $y$ 轴，沿 $SA$ 方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，并写出各顶点坐标。
• 求面 $SCD$ 的法向量：求出向量 $\overrightarrow{SC}$ 与 $\overrightarrow{SD}$，设法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x,y,z)$，利用内积为零 ${\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{SC}=0$ 且 ${\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{SD}=0$ 联立求出 ${\mathbf{n}}_1$。
• 求面 $SBA$ 的法向量：由于面 $SBA$ 恰好位于 $xOz$ 坐标平面内，其法向量极为特殊，可直接写出平行于 $y$ 轴的单位法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,1,0)$。
• 计算二面角：利用向量夹角公式求出两法向量夹角的余弦值 $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩$，进而利用同角三角函数平方关系及商数关系求出目标二面角的正切值。

✅【答案】

Success

(1) 四棱锥 $S-ABCD$ 的体积为 $\frac{1}{4}$

(2) 面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成二面角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积

因为在底面直角梯形 $ABCD$ 中， $\angle ABC=90^{\circ }$，且 $AD\parallel BC$。 所以 $AB$ 是该直角梯形的高， $AD$ 与 $BC$ 分别为梯形的上底和下底。 底面直角梯形的面积为： $S_{\text{底}}=S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot AB=\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}+1\right)\times 1=\frac{3}{4}$

因为 $SA\perp \text{面 }ABCD$，所以侧棱 $SA$ 即为四棱锥 $S-ABCD$ 的高，且 $SA=1$。 根据棱锥体积公式，求得四棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{\text{底}}\times SA=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$

（2）求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值

标准化建立空间直角坐标系 因为 $SA\perp \text{面 }ABCD$，所以 $SA\perp AB$， $SA\perp AD$。 又已知 $\angle ABC=90^{\circ }$ 且 $AD\parallel BC$，在平面 $ABCD$ 内有 $AB\perp AD$。 由此，直线 $AB,AD,SA$ 三条两两垂直。 以点 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{SA}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系。

根据题干给出的线段长度 $SA=AB=BC=1$，$AD=\frac{1}{2}$，且点 $C$ 的坐标由点 $B(1,0,0)$ 沿 $y$ 轴正方向平移 1 个单位得到（因 $BC\parallel AD$ 且 $BC=1$），可确定各顶点的空间坐标为：

• $A(0,0,0)$

• $B(1,0,0)$

• $C(1,1,0)$

• $D\left(0,\frac{1}{2},0\right)$

• $S(0,0,1)$

求解面 $SCD$ 与面 $SBA$ 的法向量 首先计算面 $SCD$ 内两个不共线源向量的坐标： $\overrightarrow{SC}=C-S=(1-0,1-0,0-1)=(1,1,-1)$ $\overrightarrow{SD}=D-S=\left(0-0,\frac{1}{2}-0,0-1\right)=\left(0,\frac{1}{2},-1\right)$

设平面 $SCD$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x,y,z)$，根据法向量正交原理： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{SC}=0⟹x+y-z=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{SD}=0⟹\frac{1}{2}y-z=0\end{array}$ 由第二式得 $y=2z$，代入第一式得 $x+2z-z=0⟹x=-z$。 令 $z=1$，可解得平面 $SCD$ 的一个标准方向法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(-1,2,1)$

因为平面 $SBA$ 经过 $x$ 轴（包含 $AB$）和 $z$ 轴（包含 $SA$），即平面 $SBA$ 恰好完全重合于 $xOz$ 坐标平面。 根据空间坐标平面的几何性质，垂直于 $xOz$ 平面的方向即为 $y$ 轴方向。 因此，平面 $SBA$ 的一个特殊单位法向量可直接提取为： ${\mathbf{n}}_2=(0,1,0)$

计算两法向量夹角的三角函数值 设面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成二面角的大小为 $\theta$（ $\theta$ 严格落在几何区间 $[0^{\circ },90^{\circ }]$ 内）。 应用空间向量夹角投影公式计算两平面法向量夹角的余弦绝对值： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|(-1)\times 0+2\times 1+1\times 0|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2}\times \sqrt{0^2+1^2+0^2}}$ $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{6}\times 1}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

求出二面角的正切值 利用同角三角函数平方和关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，求出正弦值： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 最后依据商数关系公式 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$，求得最终正切值： $\tan \theta =\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1) 四棱锥 $S-ABCD$ 的体积为 $\frac{1}{4}$； (2) 面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成二面角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角梯形底面高度判定与体积组合；特殊垂直条件下的空间建系点坐标捕获；两法向量夹角向面面二面角锐角化变号的映射；同角三角函数弦切变换。
2. 核心方法：空间向量法（法向量代数求解法）。
3. 避坑指南：

• 顶点 $C$ 坐标计算失误陷阱：在确定点 $C$ 坐标时，部分学生极易将其错写为 $(1,1,0)$ 的简化版而忽视直角梯形的错位。本题中由于 $\angle ABC=90^{\circ }$ 且 $BC=1$，点 $C$ 横坐标确实与 $B$ 一致为 1，纵坐标为 $BC=1$，属于巧合。但若改变 $BC$ 长度，必须采用向量相等（ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ 等比例缩放）来精确平移计算，防止惯性思维导致的隐蔽坐标错误。
• 二面角函数名称要求错看陷阱：本题第(2)问明确要求计算二面角的**“正切值（ $\tan$）”**。利用向量法算出余弦值 $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$ 后，切记必须通过商数变换化为正切值输出，绝不能直接将余弦值作为最终答案书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大题的核心压轴题，取材于高中立体几何教材“空间向量与二面角”章节关于线面正交结构下处理非对称面面夹角的标准示范性考试真题。
2. 结论推广：

更一般地，对于任意底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的四棱锥系统，设 $AB=a,BC=b,AD=c,SA=h$。利用本模型推导出的两面夹角解析闭式解恒满足如下空间几何不变量通式： $\tan \theta \equiv \frac{a\cdot h}{b\cdot \sqrt{a^2+h^2}}$ 代入本题特定参数 $a=1,b=1,c=\frac{1}{2},h=1$： $\tan \theta =\frac{1\times 1}{1\times \sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 直接越过建系、求法向量、算余弦、求正切等所有中间代数繁琐步骤，实现直接验算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-22 解-双曲线与弦长面积
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积