2001-豫粤卷-11 单-空间图形的面积射影定理

本题导读

本题考查空间图形的面积射影定理，以及二面角及其平面角。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：① 单向倾斜；② 双向倾斜；③ 四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 $P_1,P_2,P_3$.若屋顶斜面与水平面所成的角都是 $\alpha$，则()

A. $P_3>P_2>P_1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $P_3>P_2=P_1$

C. $P_3=P_2>P_1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $P_3=P_2=P_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清面积射影定理：设一个平面图形的面积为 $S$，它在一个平面上的正投影（射影）图形的面积为 $S^{\prime }$。若该图形所在平面与投影面所成的二面角为 $\alpha$，则满足射影面积公式 $S^{\prime }=S\cdot \cos \alpha$。
2. 寻找射影图象的共有特征：观察三种不同的屋顶盖法，无论是一面斜、两面斜还是四面斜，每一个具体的斜面在水平面上的正投影图形，恰好拼接组合成了该民房底面（或天花板平面）的水平投影区域。
3. 建立消参方程进行统一比较：由于民房底面的周界是完全相同的（设其底面积为常数 $S_0$），且所有斜面与水平面的二面角均恒为 $\alpha$。利用公式 $S_0=P_k\cdot \cos \alpha (k=1,2,3)$，即可直接判定三者大小。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据空间射影几何性质，对三种屋顶面积进行代数化推导：

引入面积射影定理公式 在立体几何中，任意一个倾斜面积为 $S_{\text{斜}}$ 的平面图形，其与水平底面成二面角 $\alpha$ 时，它在水平底面上的正投影图形面积 $S_{\text{射}}$ 满足如下不变量关系： $S_{\text{射}}=S_{\text{斜}}\cdot \cos \alpha ⟹S_{\text{斜}}=\frac{S_{\text{射}}}{\cos \alpha }$

分析三种盖法屋顶的投影总和 设这间民房天花板的水平底面积为一个固定常数 $S_0$。

• 对于盖法 ①（单向倾斜）：整个屋顶只有一个斜面。这个斜面在水平面上的正投影，恰好就是底面 $S_0$。因此： $S_0=P_1\cdot \cos \alpha ⟹P_1=\frac{S_0}{\cos \alpha }$

• 对于盖法 ②（双向倾斜）：屋顶由前后两个斜面组成。设这两个斜面的面积分别为 $P_{2\text{前}}$ 和 $P_{2\text{后}}$（即 $P_2=P_{2\text{前}}+P_{2\text{后}}$）。 这两个斜面与水平面的夹角都是 $\alpha$，它们在水平面上的投影分别记为 $S_{2{\text{前}}^{\prime }}$ 和 $S_{2{\text{后}}^{\prime }}$。 显然，这两个射影面积拼接在一起，刚好完全覆盖了民房的整个水平底面： $S_{2{\text{前}}^{\prime }}+S_{2{\text{后}}^{\prime }}=S_0$。 由射影定理可得： $S_0=P_{2\text{前}}\cdot \cos \alpha +P_{2\text{后}}\cdot \cos \alpha =(P_{2\text{前}}+P_{2\text{后}})\cdot \cos \alpha =P_2\cdot \cos \alpha$ 解得： $P_2=\frac{S_0}{\cos \alpha }$

• 对于盖法 ③（四向倾斜）：屋顶由东、西、南、北四个斜面拼合而成。同理，每个斜面与水平底面的夹角依然全部是 $\alpha$。 这四个斜面在水平面上的正投影，分别对应于底面四块切分后的子区域面积。这四个子射影面积的总和，也必然刚好完全闭合组成了整个房子的水平底面积 $S_0$。 因此，同样有： $S_0=P_3\cdot \cos \alpha ⟹P_3=\frac{S_0}{\cos \alpha }$

大小判定结论 通过上述推导，由于民房基础底面积 $S_0$ 与屋顶倾角 $\alpha$ 均保持相同，三种盖法的总面积公式完全统一： $P_1=P_2=P_3=\frac{S_0}{\cos \alpha }$

D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体侧面积与底面积的射影关系公式 $S_{\text{底}}=S_{\text{侧}}\cdot \cos \alpha$。
2. 核心方法：“整体投影法”。面对复杂、凌乱的组合空间多面体面积计算，只要满足“各面与基准平面的夹角均相等”，就可以将所有分项面积求和转化为整体投影。
3. 避坑指南：

• 视觉直觉欺骗陷阱：本题极易受到图象视觉的误导。直观上看，图③包含很多零散的三角形与梯形拼接，显得比图①更“陡峭”、“饱满”或者复杂，很多学生会凭直觉认为 $P_3>P_2>P_1$，从而误选 A。做立体几何题，必须坚信代数算理，警惕未经严格逻辑论证的视觉经验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是一道将数学定理与日常建筑工程设计深度交汇的经典应用辨析大题，属于拉分高难度客观题。取材于高中立体几何教材“二面角”章节关于面积射影定理（也称高斯-格林投影公式的初等变体）的探究创新延伸题。
2. 结论推广： 本题所体现的面积射影守恒性可进一步一般化推广为**“任意锥体侧面积投影定理”**： 若一个任意棱锥（或圆锥、不规则多面体冠部）的各个侧面与底面所成的二面角均相等，且其大小为 $\alpha$，则该多面体的侧面积总和 $S_{\text{侧}}$ 与底面积 $S_{\text{底}}$ 恒满足固定的代数线性不变量： $S_{\text{侧}}=\frac{S_{\text{底}}}{\cos \alpha }$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-16 填-正方体面的射影
• 2000-新课标卷文-16 填-正方体面的射影
• 2002-北京卷文-15 填-射影角的范围