2001-豫粤卷-06 单-反函数的定义与求法

本题导读

本题考查反函数的定义与求法，以及指数函数与对数函数的互化。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 函数 $y=2^{-x}+1(x>0)$ 的反函数是()

A. $y={\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2)$　　　　B. $y=-{\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2)$

C. $y={\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2]$　　　　D. $y=-{\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求原函数的值域：依据已知自变量定义域 $x>0$，推导指数项 $2^{-x}$ 的取值区间，从而确定 $y$ 的范围。原函数的值域将直接转化为反函数的定义域，以此排除不合规的选项边界。
2. 反解自变量 $x$：将原方程 $y=2^{-x}+1$ 中的指数项隔离，两边同时取以 2 为底的对数，将 $x$ 用含有 $y$ 的代数式显式表达。
3. 变换字母输出：将反解出的式子进行 $x,y$ 字母对调，并拼接上第一步确定的定义域，锁定最终选项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

求原函数的值域（即反函数的定义域） 已知原函数为： $y=2^{-x}+1\text{其定义域为 }x>0$ 当 $x>0$ 时， $-x<0$。根据指数函数 $y=2^t$ 的单调递增性： $0<2^{-x}<2^0⟹0<2^{-x}<1$ 不等式各项同时加上 1，得： $1<2^{-x}+1<2⟹1<y<2$ 因为原函数的值域就是其反函数的定义域，所以反函数的定义域为： $x\in (1,2)$ 由此排除包含闭边界的 C、D 选项。

从原函数方程中反解自变量 $x$ 由原方程进行移项隔离指数项： $y-1=2^{-x}$ 将等式两边同时取以 2 为底的对数，得： ${\log }_2(y-1)=-x$ 两边同乘以 $-1$，显式解出 $x$： $x=-{\log }_2(y-1)$ 利用对数的幂运算法则 $-{\log }_{2}M={\log }_2(M^{-1})={\log }_2\frac{1}{M}$，将上式恒等变形为： $x={\log }_2\frac{1}{y-1}$

对调自变量与因变量字母并输出 将 $x$ 与 $y$ 互换位置，得到反函数的解析式： $y={\log }_2\frac{1}{x-1}$ 结合第一步中确定的定义域 $x\in (1,2)$，得到完整的反函数表达式： $y={\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2)$

正确选项： A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数解析式的代数反解；定义域与值域的空间映射双写约束。
2. 核心方法：方程恒等变形法。
3. 避坑指南：

• 端点开闭误判陷阱：本题在解析式基本一致的前提下，选项 A 与 C、B 与 D 的核心区别在于定义域端点 2 是开区间还是闭区间。必须通过原定义域 $x>0$ 的严格开边界，精准推导输出值域的开边界，切勿主观臆断加入等号。
• 对数负号变形陷阱：在第二步算出 $x=-{\log }_2(x-1)$ 后，若没有注意到选项中通过负号倒数化简为了 ${\log }_2\frac{1}{x-1}$，极易在找不到完全一致的式子时产生慌乱导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数板块非常经典的反函数求解选择题，取材于高中数学教材“反函数”章节关于指数与对数互为逆运算性质的标准课后习题。
2. 结论推广： 本题所涉及的反函数映射属于标准的**“分式复合对数逆变模型”**。 对于通用型复合指数函数 $y=a^{-x}+c(a>1)$ 在定义域 $x>0$ 下，其全面反函数模型恒具有如下不变量闭式解： $y={\log }_a\frac{1}{x-c},x\in (c,c+1)$ 利用该推广模型代入本题参数 $a=2,c=1$： $y={\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,1+1=2)$ 直接锁定 A。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 2006-四川文-02 单-对数型反函数
• 2006-江西文-14 填-反函数求值