2001-新课标理-22 解-曲线交点共圆

本题导读

本题考查曲线与方程。核心在于联立两曲线解出 $x^2$、$y^2$，由交点个数定 $\theta$ 范围，并证四点共圆。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 设 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，曲线 $x^2\sin \theta +y^2\cos \theta =1$ 和 $x^2\cos \theta -y^2\sin \theta =1$ 有 $4$ 个不同的交点.

(1) 求 $\theta$ 的取值范围；

(2) 证明这 $4$ 个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 两方程乘系数相加减，解出 $x^2$、$y^2$。
2. $4$ 个交点须 $x^2>0$ 且 $y^2>0$，定 $\theta$。
3. 交点满足 $x^2+y^2=2\cos \theta$，共圆并求半径范围。

✅【答案】

Success

$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$；四点共圆 $x^2+y^2=2\cos \theta$，半径 $r\in \left(2^{\frac{1}{4}},\sqrt{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 两曲线的交点坐标 $(x,y)$ 满足方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^2\sin \theta +y^2\cos \theta =1\\ x^2\cos \theta -y^2\sin \theta =1\end{array}$．第一式乘 $\sin \theta$、第二式乘 $\cos \theta$ 后相加，得 $x^2=\sin \theta +\cos \theta$；第一式乘 $\cos \theta$、第二式乘 $\sin \theta$ 后相减，得 $y^2=\cos \theta -\sin \theta$．有 $4$ 个不同交点等价于 $x^2>0$ 且 $y^2>0$，即 $\{\begin{array}{l}\sin \theta +\cos \theta >0\\ \cos \theta -\sin \theta >0\end{array}$．因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，$\sin \theta +\cos \theta >0$ 恒成立，$\cos \theta >\sin \theta$ 得 $\theta <\frac{\pi }{4}$，故 $\theta$ 的取值范围为 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$． (2) 由 (1) 的推理知 $4$ 个交点的坐标 $(x,y)$ 满足方程 $x^2+y^2=2\cos \theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right)$，即 $4$ 个交点共圆，该圆的圆心为原点，半径 $r=\sqrt{2\cos \theta }$．由 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ 得 $\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos \theta <1$，故 $\sqrt{2}<r^2<2$，即 $2^{\frac{1}{4}}<r<\sqrt{2}$．所以圆半径的取值范围是 $\left(2^{\frac{1}{4}},\sqrt{2}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曲线交点共圆

核心方法：联立解得 $x^2=\sin \theta +\cos \theta$，$y^2=\cos \theta -\sin \theta$，均正得 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$；$x^2+y^2=2\cos \theta$ 共圆，$r=\sqrt{2\cos \theta }\in \left(2^{\frac{1}{4}},\sqrt{2}\right)$

避坑指南：联立解出 $x^2,y^2$，公共圆求半径范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材曲线与方程

结论推广：一般地，公共点坐标满足两方程的对称组合

方法推广：联立消元化圆

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-22 解-曲线交点共圆
• 2007-新课标Ⅰ文-22 解-四点共圆与圆周角定理
• 2014-新课标Ⅰ文-22 解-圆内接四边形