2001-新课标卷文-16 填-等比数列前n项和等差

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和成等差数列的条件。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和.若 $\{S_n\}$ 是等差数列，则 q=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\{S_n\}$ 等差等价于 $S_2-S_1=S_3-S_2$。
2. 转化为 $a_2=a_3$，解公比。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\{S_n\}$ 是等差数列，$S_2-S_1=S_3-S_2$，即 $a_2=a_3$．又 $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$，且等比数列首项、公比均非零，故 $a_{1}q=a_1{q}^2$，两边除以 $a_{1}q\ne 0$ 得 $q=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前n项和等差

核心方法：$\{S_n\}$ 等差，$S_2-S_1=S_3-S_2$，即 $a_2=a_3$，$a_{1}q=a_1{q}^2$，$a_{1}q\ne 0$，故 $q=1$

避坑指南：由 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 转化为相邻项相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列

结论推广：一般地，$\{S_n\}$ 等差等价于 $a_{n+1}=a_n$

方法推广：由相邻项相等解公比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-01 单-等比数列公比求解
• 2012-新课标Ⅰ文-14 填-等比数列公比
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比