2001-新课标理-16 填-等比数列前n项和绝对值等差

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和的性质，以及等差数列的判定。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和.若 $|S_n|$ 是等差数列，则 q=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|S_2|-|S_1|=|S_3|-|S_2|$ 即 $|S_1|+|S_3|=2|S_2|$。
2. 代 $S_1,S_2,S_3$，两边除以 $|a_1|$，化为关于 $q$ 的绝对值方程，再按 $1+q$ 的符号分类求解。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{|S_n|\}$ 是等差数列，其前三项必自洽：$|S_1|+|S_3|=2|S_2|$．

记 $S_1=a_1$，$S_2=a_1(1+q)$，$S_3=a_1(1+q+q^2)$，由 $a_1\ne 0$，两边同除以 $|a_1|$： $1-2|1+q|+|1+q+q^2|=0.$

令 $t=1+q$，则 $1+q+q^2=t^2-t+1={\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，绝对值可直接去掉，方程化为 $t^2-t+2=2|t|.$ 当 $t\ge 0$ 时，$t^2-3t+2=0$，得 $t=1$ 或 $t=2$，即 $q=0$（舍，等比数列公比非零）或 $q=1$；

当 $t<0$ 时，$t^2+t+2=0$，判别式 $1-8<0$，无实根．

故只能 $q=1$．检验：$q=1$ 时 $S_n=n{a}_1$，$|S_n|=n|a_1|$，确为等差数列．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前n项和绝对值等差

核心方法：前三项列式 $1-2|1+q|+|1+q+q^2|=0$，令 $t=1+q$ 化为 $t^2-t+2=2|t|$，分类解得 $q=1$

避坑指南：不要用 "$|S_1|+|S_3|\ge |S_1+S_3|=2|S_2|$" 去推同号——$|S_1+S_3|=2|S_2|$ 本身只在 $q=1$（或 $q=0$）时成立，用它等于把结论当前提。稳妥做法是直接对前三项列绝对值方程，再按绝对值内式子（即 $1+q$）的符号分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差等比数列

结论推广：一般地，$\{|S_n|\}$ 等差只需取前三项列方程，$q$ 往往被唯一确定；本题 $q=0$ 是增根，靠”公比非零”舍去

方法推广：绝对值方程 + 按内层式子的符号分类

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-16 填-等比数列前n项和等差
• 2007-重庆文-01 单-等比数列公比求解
• 2012-新课标Ⅰ文-14 填-等比数列公比