2001-大纲理-14 填-双曲线的几何性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)）双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为.

🔍【思路分析】

破题导航

确定双曲线基本度量：从标准方程 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中读出 $a^{2} = 9, b^{2} = 16$ ，利用关系式 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 求出半焦距 $c$ 及焦距 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c$ 。

利用双曲线定义建立方程：设 $∣ P F_{1} ∣ = r_{1}, ∣ P F_{2} ∣ = r_{2}$ 。根据双曲线第一定义，满足 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a$ 。

结合垂直条件引入勾股定理：因为 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形。由勾股定理得 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = ∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = 4 c^{2}$ 。

代数变形求解半径乘积：联立定义式与勾股定理式，通过完全平方公式变形，求出 $r_{1} r_{2}$ 的值。

面积等积法求距离：点 $P$ 到 $x$ 轴的距离即为 Rt $△ P F_{1} F_{2}$ 斜边 $F_{1} F_{2}$ 上的高 $h$ 。利用直角三角形面积的两种计算公式 $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} = \frac{1}{2} ∣ F_{1} F_{2} ∣ \cdot h$ 联立求解。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

求双曲线的基本几何参数由双曲线方程 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 可知： $a^{2} = 9 ⟹ a = 3$ $b^{2} = 16$ 根据双曲线中 $a, b, c$ 的几何方幂关系： $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25 ⟹ c = 5$ 因此，焦距长为： $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c = 10$

利用定义与勾股定理建立代数联系设焦点半径分别为 $∣ P F_{1} ∣ = r_{1}$ ， $∣ P F_{2} ∣ = r_{2}$ 。根据双曲线第一定义： $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a = 6 (1)$ 因为 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，所以在直角 $△ P F_{1} F_{2}$ 中，由勾股定理得： $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = ∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = (10)^{2} = 100 (2)$

对 ① 式两边同时平方： $(r_{1} - r_{2})^{2} = 36 ⟹ r_{1}^{2} - 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2} = 36 (3)$ 将 ② 式代入 ③ 式中： $100 - 2 r_{1} r_{2} = 36 ⟹ 2 r_{1} r_{2} = 64 ⟹ r_{1} r_{2} = 32$

利用面积等积法求高（点 $P$ 到 $x$ 轴的距离）设点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $h$ 。由于焦点 $F_{1}, F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，所以 $h$ 即为 Rt $△ P F_{1} F_{2}$ 斜边 $F_{1} F_{2}$ 上的高。根据 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积守恒定律： $S_{△ P F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} = \frac{1}{2} ∣ F_{1} F_{2} ∣ \cdot h$ 两边消去 $\frac{1}{2}$ 并代入已知数据： $32 = 10 \cdot h ⟹ h = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

$\frac{16}{5}$ （或 $3.2$ ）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义式 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a$ 的完全平方变形；焦点三角形面积的多解析式转换。

核心方法：“整体代换法（乘积项转化）”。在求 $r_{1} r_{2}$ 时不需要单独解出 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 的具体数值，通过代数公式整体提取即可。

避坑指南：

公式记忆混淆陷阱：在计算 $c^{2}$ 时，极易将双曲线的 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 与椭圆的 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 记混，导致算出 $c = 7$ 的错误分支。必须时刻分清椭圆与双曲线中几何参数的限界定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的双曲线焦点三角形经典几何填空大题，取材于高中解析几何教材中“双曲线的简单几何性质”章节关于焦点三角形性质探讨的课后标准提高题。

结论推广：本题可直接推导推广为通用的**“双曲线直角焦点三角形面积与纵坐标不变量定理”**：对于任意标准双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，若双曲线上的点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{\circ}$ ，则：

焦点三角形的面积恒为固定常数： $S_{△ P F_{1} F_{2}} = b^{2}$ 。

点 $P$ 的纵坐标绝对值（即到 $x$ 轴的距离）满足： $h = \frac{b ^{2}}{c}$ 。

利用该推广模型直接验证本题：已知 $b^{2} = 16, c = 5$ ，直接代入不变量公式： $h = \frac{b ^{2}}{c} = \frac{16}{5}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义

1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质

1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆

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