2001-大纲理-07 单-椭圆的定义

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 若椭圆经过原点，且焦点为 $F_1(1,0),F_2(3,0)$，则其离心率为()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求半焦距 $c$：已知两焦点 $F_1(1,0),F_2(3,0)$，利用两点间距离公式求出焦距 $2c$，进而得出半焦距 $c$ 的值。
2. 运用定义求长轴长 $2a$：题目给出椭圆“经过原点 $O(0,0)$”。根据椭圆的第一定义，原点 $O$ 到两个焦点的距离之和必须严格等于长轴长 $2a$，即 $|O{F}_1|+|O{F}_2|=2a$。
3. 计算离心率 $e$：将求得的 $c$ 和 $a$ 代入离心率标准公式 $e=\frac{c}{a}$ 中求出结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

求半焦距 $c$ 已知椭圆的两个焦点为 $F_1(1,0)$， $F_2(3,0)$。 根据焦距定义： $2c=|F_1{F}_2|=3-1=2⟹c=1$

利用椭圆定义求解长轴长 $a$ 因为椭圆经过原点 $O(0,0)$，根据椭圆第一定义，原点 $O$ 到两焦点的距离之和为 $2a$： $2a=|O{F}_1|+|O{F}_2|$ 分别计算原点到两焦点的距离：

• $|O{F}_1|=|1-0|=1$
• $|O{F}_2|=|3-0|=3$

代入定义式中： $2a=1+3=4⟹a=2$

计算离心率 将 $c=1,a=2$ 代入离心率公式： $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义式 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$；离心率定义 $e=\frac{c}{a}$。
2. 核心方法：几何定义转化法。
3. 避坑指南：

• 圆心错位陷阱：本题椭圆的中心在两焦点的中点 $M(2,0)$ 处，而非原点。设方程求解时应采用中心不在线顶点的标准平移方程 $\frac{(x-2{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
• 如果盲目使用未经平移的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 强行代入，会导致严重的逻辑冲突。因此，遇到中心不在原点的圆锥曲线问题，首选几何定义法而非联立方程法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的圆锥曲线几何性质基础客观题，取材于高中解析几何教材中“椭圆的几何性质”章节关于离心率求解的课后基本训练题。
2. 结论推广： 推广到一般性几何不变量模型：若已知平面内一动点 $P$ 满足到两定点 $F_1,F_2$ 的距离之比与焦距存在特定代数限界，其轨迹对应的离心率可直接由两定点的几何张角关系推出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距
• 1989-广东理-09 单-椭圆的离心率
• 2006-四川文-15 填-椭圆焦点距离和