2001-大纲文-22 解-抽象函数周期与函数值

本题导读

本题考查抽象函数的奇偶性与周期性。核心在于赋值求函数值，并借助图象对称与偶函数证明周期性。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x=1$ 对称，对任意 $x_1,x_2\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$，都有 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$.

(1) 设 $f(1)=2$，求 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{1}{4}\right)$；

(2) 证明：$f(x)$ 是周期函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $x_1=x_2=\frac{x}{2}$ 得 $f(x)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$。
2. 取 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$ 得 $f{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=f(1)=2$。
3. 由对称与偶函数得 $f(x)=f(x+2)$。

✅【答案】

Success

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$，$f\left(\frac{1}{4}\right)=2^{\frac{1}{4}}$；$f(x)$ 以 $2$ 为周期

✍【详细解析】

Abstract

(1) 对任意 $x\in [0,1]$，取 $x_1=x_2=\frac{x}{2}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$，则 $f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)f\left(\frac{x}{2}\right)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$．取 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$，由 $f(1)=2$ 得 $f{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=f(1)=2$，结合 $f\left(\frac{1}{2}\right)\ge 0$，得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$．再取 $x_1=x_2=\frac{1}{4}$，得 $f{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=f\left(\frac{1}{2}\right)=2^{\frac{1}{2}}$，因 $f\left(\frac{1}{4}\right)\ge 0$，故 $f\left(\frac{1}{4}\right)=2^{\frac{1}{4}}$． (2) 由图象关于直线 $x=1$ 对称，对任意 $x\in \mathbf{R}$ 有 $f(x)=f(2-x)$．又 $f$ 为偶函数，$f(-x)=f(x)$．在 $f(x)=f(2-x)$ 中以 $-x$ 代 $x$，得 $f(-x)=f(2+x)$，故 $f(x)=f(2+x)$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 成立，所以 $f(x)$ 是周期函数，且 $2$ 是它的一个周期．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数周期与函数值

核心方法：$f(x)=f(\frac{x}{2}{)}^2\ge 0$；$f(1)=f(\frac{1}{2}{)}^2=2$ 得 $f(\frac{1}{2})=\sqrt{2}$，$f(\frac{1}{4})=2^{\frac{1}{4}}$；关于 $x=1$ 对称及偶函数得 $f(x)=f(x+2)$

避坑指南：赋值定函数值，对称 + 偶函数证周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶性与周期性

结论推广：一般地，关于 $x=1$ 对称的偶函数以 $2$ 为周期

方法推广：赋值 + 对称与偶函数证周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-15 填-抽象函数周期求值
• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期
• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值