2006-安徽文-15 填-抽象函数周期求值

本题导读

本题考查抽象函数，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 函数 $f(x)$ 对于任意实数 $x$ 满足条件 $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$，若 $f(1)=-5$，则 $f(f(5))=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x+4)=\frac{1}{f(x+2)}=f(x)$，周期为 $4$。
2. $f(5)=f(1)=-5$，故 $f(f(5))=f(-5)$。
3. $f(-5)=f(3)$（周期 $4$），而 $f(3)=f(1+2)=\frac{1}{f(1)}=-\frac{1}{5}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$，得 $f(x+4)=\frac{1}{f(x+2)}=f(x)$，故 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数。 $f(5)=f(1)=-5$，所以 $f(f(5))=f(-5)$。 由周期性 $f(-5)=f(3)$，而 $f(3)=f(1+2)=\frac{1}{f(1)}=-\frac{1}{5}$。 故 $f(f(5))=-\frac{1}{5}$。 ★【裁定】答案册给 $-5$，系迭代错误；按周期与倒数关系逐步复算为 $-\frac{1}{5}$，多源官方详解同，按 $-\frac{1}{5}$ 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数周期求值

核心方法：迭代出周期再逐层代入

避坑指南：$f(x+4)=f(x)$ 周期 $4$：$f(5)=f(1)=-5$，$f(-5)=f(3)=\frac{1}{f(1)}=-\frac{1}{5}$；$f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$ 是取倒数不是变号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自抽象函数周期性，迭代求值经典题

结论推广: $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}\Rightarrow$ 周期 $4$ 推广到 $f(x+a)=-f(x)$ 类结构

方法推广: 先证周期再”大化小”，每迭代一次取一次倒数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-09 单-抽象函数周期求值
• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值