2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积

本题导读

本题考查圆内接四边形的性质与面积。核心在于利用对角互补统一两个三角形的面积。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 已知圆内接四边形 $ABCD$ 的边长分别为 $AB=2$，$BC=6$，$CD=DA=4$，求四边形 $ABCD$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 连 $BD$，设 $\angle BAD=A$、$\angle BCD=C$，则 $A+C=180^{\circ }$。
2. 面积 $=16\sin A$，用余弦定理定 $\cos A$。

✅【答案】

Success

$8\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

连接 $BD$，设 $\angle BAD=A$，$\angle BCD=C$．因 $ABCD$ 为圆内接四边形，故 $A+C=180^{\circ }$，从而 $\sin A=\sin C$．四边形面积 $S=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin A+\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin C=\frac{1}{2}\times 2\times 4\sin A+\frac{1}{2}\times 6\times 4\sin A=16\sin A$．在 $△ABD$ 与 $△CBD$ 中分别用余弦定理：$B{D}^2=2^2+4^2-2\times 2\times 4\cos A=20-16\cos A$，$B{D}^2=6^2+4^2-2\times 6\times 4\cos C=52-48\cos C$．又 $\cos C=-\cos A$，故 $20-16\cos A=52+48\cos A$，解得 $\cos A=-\frac{1}{2}$，即 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$．因此 $S=16\times \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆内接四边形面积

核心方法：连 $BD$，圆内接 $A+C=180^{\circ }$，$S=16\sin A$；余弦定理 $B{D}^2=20-16\cos A=52+48\cos A$，得 $\cos A=-\frac{1}{2}$，$S=8\sqrt{3}$

避坑指南：圆内接对角互补，余弦定 $\cos A$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆内接四边形

结论推广：一般地，圆内接四边形对角互补

方法推广：对角互补 + 余弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标Ⅰ文-22 解-圆内接四边形
• 2010-天津文-11 填-圆内接四边形相似
• 2004-北京卷文-15 解-解三角形与三角求值