2001-大纲文-09 单-正三棱柱异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量的运用。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$，则 $A{B}_1$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为()

A. $60^{\circ }$　　　　　　B. $90^{\circ }$　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AB=s$，则 $B{B}_1=\frac{s}{\sqrt{2}}$。
2. 建系求 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=s$，则 $B{B}_1=h=\frac{s}{\sqrt{2}}$．建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$C\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$，$A_1(0,0,h)$，$C_1\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},h\right)$．则 $\overrightarrow{A{B}_1}=(s,0,h)$，$\overrightarrow{C_{1}B}=\left(\frac{s}{2},-\frac{\sqrt{3}s}{2},-h\right)$，其内积为 $\frac{s^2}{2}-h^2=\frac{s^2}{2}-\frac{s^2}{2}=0$，故两直线垂直，所成角为 $90^{\circ }$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱异面直线所成角

核心方法：建系，$A{B}_1=(s,0,h)$、$C_{1}B=(\frac{s}{2},-\frac{\sqrt{3}s}{2},h)$，内积 $=\frac{s^2}{2}-h^2=0$（$h=\frac{s}{\sqrt{2}}$），故 $90^{\circ }$

避坑指南：建系向量内积为零判垂直

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材异面直线所成角

结论推广：一般地，异面直线所成角用向量内积判垂直

方法推广：建系求向量内积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2002-新课标文-08 单-正六棱柱异面角
• 2004-浙江文-10 单-正三棱柱线面角
• 2003-北京文-17 解-正三棱柱证明与距离