2004-天津理-06 单-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立，以及异面直线所成角的代数计算。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $O$ 是底面 $ABCD$ 的中心， $E、F$ 分别是 $C{C}_1、AD$ 的中点，那么异面直线 $OE$ 和 $F{D}_1$ 所成的角的余弦值等于 ()

A. $\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：由于正方体各棱两两互相垂直，可以完美选取顶点 $D$ 作为原点，以 $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线作为三个坐标轴建立直角坐标系。
2. 写出关键点和向量的坐标：根据正方体棱长为 2，确定点 $O,E,F,D_1$ 的精确三维空间坐标，并进一步写出方向向量 $\overrightarrow{OE}$ 和 $\overrightarrow{F{D}_1}$ 的坐标表示。
3. 向量夹角公式计算：利用公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}|}{|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{F{D}_1}|}$ 计算异面直线夹角的余弦值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立空间直角坐标系 以顶点 $D$ 为坐标原点，射线 $DA$ 方向为 $x$ 轴正方向，射线 $DC$ 方向为 $y$ 轴正方向，射线 $D{D}_1$ 方向为 $z$ 轴正方向，建立平面空间直角坐标系 $D-xyz$。

• 第二步：求出各相关点的坐标 已知正方体的棱长为 2。

  • 顶点 $D$ 坐标为 $(0,0,0)$， $A(2,0,0)$， $C(0,2,0)$， $D_1(0,0,2)$。
  • $O$ 是底面正方形 $ABCD$ 的中心，由中点坐标公式可得： $O\left(\frac{2+0}{2},\frac{2+0}{2},0\right)=(1,1,0)$
  • $E$ 是侧棱 $C{C}_1$ 的中点，且 $C(0,2,0),C_1(0,2,2)$： $E(0,2,1)$
  • $F$ 是底面边 $AD$ 的中点，且 $A(2,0,0),D(0,0,0)$： $F(1,0,0)$

• 第三步：写出方向向量并应用夹角公式求解 根据向量终点坐标减起点坐标的原则，计算方向向量： $\overrightarrow{OE}=E-O=(0-1,2-1,1-0)=(-1,1,1)$ $\overrightarrow{F{D}_1}=D_1-F=(0-1,0-0,2-0)=(-1,0,2)$

  计算两个向量的数量积（点乘）： $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}=(-1)\times (-1)+1\times 0+1\times 2=1+0+2=3$

  分别计算两向量的模长： $|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ $|\overrightarrow{F{D}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$

  设异面直线 $OE$ 和 $F{D}_1$ 所成的角为 $\theta$ （由于异面直线夹角取值范围为 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，其余弦值必然非负）： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}|}{|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{F{D}_1}|}=\frac{3}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{15}}$ 分子分母同时乘以 $\sqrt{15}$ 进行有理化： $\cos \theta =\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

综合上述， (B) 选项符合题意。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体坐标系的建立、向量方向坐标表示、空间向量夹角计算公式。
2. 核心方法：空间向量一元化运算法（远优于传统几何辅助线平移法）。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆坐标轴对应的顶点属性。本题中若以 $D$ 为原点， $DA$ 为 $x$ 轴，则点 $C$ 属于 $y$ 轴，对应坐标为 $(0,2,0)$。若将 $A,C$ 点的横纵坐标位置记反，将导致整个后续向量计算完全出错。
   • 异面直线所成角的余弦值必须为正数，公式分子上一定要带绝对值符号。虽然本题算出来的数量积 3 本身就是正数，但在处理其他题目数量积为负时，切记要翻转为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考立体几何客观题，考查空间想象力向坐标运算转化的基本功。
2. 结论推广: 对于正方体或长方体中任意两直线的夹角、线面角、二面角问题，通过建立直角坐标系进行纯代数化求解，是具备极高普适性的“工业级标准解法”。设两异面直线的方向向量坐标分别为 $\vec{u}=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $\vec{v}=(x_2,y_2,z_2)$，则其余弦值恒可由公式 $\frac{|x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$ 直接判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1987-上海-04 填-异面直线所成的角
• 2000-新课标卷文-18甲 解-直三棱柱的向量夹角与垂直
• 2001-大纲文-09 单-正三棱柱异面直线所成角