2001-大纲文-08 单-三角函数单调比较

本题导读

本题考查三角函数的单调性，以及 $\sin t+\cos t$ 的增减性。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 若 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，$\sin \alpha +\cos \alpha =a$，$\sin \beta +\cos \beta =b$，则()

A. $a>b$　　　　　　B. $a<b$　　　　　　C. $ab<1$　　　　　　D. $ab>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $h(t)=\sin t+\cos t$，$h^{\prime }(t)=\cos t-\sin t$。
2. 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上 $h$ 递增。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $h(t)=\sin t+\cos t$，则 $h^{\prime }(t)=\cos t-\sin t$．当 $0<t<\frac{\pi }{4}$ 时 $\cos t>\sin t$，故 $h^{\prime }(t)>0$，$h(t)$ 在该区间上单调递增．由 $\alpha <\beta$ 得 $a=h(\alpha )<h(\beta )=b$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数单调比较

核心方法：$h(t)=\sin t+\cos t$，$h^{\prime }(t)=\cos t-\sin t>0(0<t<\frac{\pi }{4})$，故 $h$ 递增，$a<b$

避坑指南：构造单调函数比较

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的单调性

结论推广：一般地，$f(t)=\sin t+\cos t$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 递增

方法推广：构造单调函数比较大小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-07 单-三角函数单调比较
• 2003-天津文-21 解-正弦型函数奇偶对称单调
• 2004-天津文-10 单-三角函数单调区间