2001-大纲文-03 单-圆锥轴截面与全面积

本题导读

本题考查圆锥的轴截面，以及全面积的求解。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 $\sqrt{3}$，则这个圆锥的全面积是()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　C. $6\pi$　　　　　　　D. $9\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 轴截面等边，母线 $l$ 等于底面直径 $2r$。
2. 由截面面积定 $r$，再求全面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径为 $r$、母线为 $l$，轴截面是等边三角形时底边为底面直径，故 $l=2r$．轴截面面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}(2r{)}^2=\sqrt{3}$，得 $r=1$，$l=2$．全面积 $S=\pi r^2+\pi rl=\pi +2\pi =3\pi$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥轴截面与全面积

核心方法：轴截面等边，母线 $l=2r$，由 $\frac{\sqrt{3}}{4}(2r{)}^2=\sqrt{3}$ 得 $r=1,l=2$，全面积 $\pi r^2+\pi rl=3\pi$

避坑指南：轴截面等边定 $l=2r$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥的几何量

结论推广：一般地，轴截面等边时母线长等于底面直径

方法推广：轴截面定 $l=2r$ 求全面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-08 单-圆锥与半球体积
• 2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积
• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积