2001-上海文-20 解-复数集合与概率

本题导读

本题考查复数与集合。核心在于用列举法表示集合，并由元素性质求概率。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 对任意一个非零复数 $z$，定义集合 $M_z=\{\omega \mid \omega =z^{2n-1},n\in \mathbf{N}\}$.

(1) 设 $a$ 是方程 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ 的一个根，试用列举法表示集合 $M_a$.若在 $M_a$ 中任取两个数，求其和为零的概率 $P$；

(2) 设集合 $M_z$ 中只有 $3$ 个元素，试写出满足条件的一个 $z$ 的值，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程求 $a$，由 $z^{2n-1}$ 的规律列举 $M_a$。
2. 分析 $M_a$ 元素的正负求概率。
3. 找使 $z^2$ 三次循环的 $z$。

✅【答案】

Success

(1) $M_a=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{4\sqrt{2}},\cdots \right\}$，$P=0$

(2) 取 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ 得 $x^2-\sqrt{2}x+1=0$，即 ${\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=0$，故 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$．于是 $M_a=\left\{a,a^3,a^5,\cdots \right\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{1}{8\sqrt{2}},\cdots \right\}$，其中每个元素都为正数，从中任取两个数其和不可能为零，故 $P=0$． (2) 取 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．则 $z^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，且 $(z^2{)}^3=1$，而 $z^2\ne 1$．于是 $z^{2n-1}=z(z^2{)}^{n-1}$ 按 $z^2$ 的三次循环取值，具体为 $M_z=\left\{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$，这三个数互不相同，所以 $M_z$ 中恰有 $3$ 个元素．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数集合与概率

核心方法：$a$ 满足 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$M_a=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{4\sqrt{2}},\cdots \right\}$ 全正，任取两数和不为零，$P=0$；取 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z^2$ 三次循环得 $3$ 元素

避坑指南：复数幂循环 + 列举集合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的运算

结论推广：一般地，$z^n$ 的周期性可由 $z^2$ 判断

方法推广：复数幂循环

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷文-07 单-复数的高次幂
• 2001-新课标理-13 填-复数的辐角