2001-上海文-18 解-椭圆直角焦点三角形

本题导读

本题考查椭圆的焦点三角形。核心在于用定义与勾股定理分情况求焦半径之比。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)）设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆上的一点.已知 $P$ 、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是一个直角三角形的三个顶点，且 $∣ P F_{1} ∣ > ∣ P F_{2} ∣$ ，求 $\frac{∣ P F _{1} ∣}{∣ P F _{2} ∣}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

由椭圆定义 $r_{1} + r_{2} = 6$ ，焦距 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 25$ 。

分直角在 $P$ 、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 三种情况讨论。

✅【答案】

Success

$2$ 或 $\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $r_{1} = ∣ P F_{1} ∣$ ， $r_{2} = ∣ P F_{2} ∣$ （ $r_{1} > r_{2}$ ）．椭圆长半轴 $a = 3$ ，由椭圆定义得 $r_{1} + r_{2} = 2 a = 6$ ；焦距 $c = 3^{2} - 2^{2} = 5$ ，故 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 25$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = 20$ ．（1）当直角在 $P$ 处时，由勾股定理 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 20$ ．结合 $(r_{1} + r_{2})^{2} = 36$ ，得 $2 r_{1} r_{2} = 36 - 20 = 16$ ，即 $r_{1} r_{2} = 8$ ，从而 $r_{1}, r_{2}$ 是方程 $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ 的两根，解得 $r_{1} = 4$ ， $r_{2} = 2$ ，此时 $\frac{r _{1}}{r _{2}} = 2$ ．（2）当直角在 $F_{1}$ 处时， $r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + 20$ ，联立 $r_{1} + r_{2} = 6$ 解得 $r_{1} = \frac{4}{3}$ ， $r_{2} = \frac{14}{3}$ ，与 $r_{1} > r_{2}$ 矛盾，舍去．（3）当直角在 $F_{2}$ 处时， $r_{1}^{2} = r_{2}^{2} + 20$ ，联立 $r_{1} + r_{2} = 6$ 解得 $r_{1} = \frac{14}{3}$ ， $r_{2} = \frac{4}{3}$ ，此时 $\frac{r _{1}}{r _{2}} = \frac{7}{2}$ ．综上， $\frac{∣ P F _{1} ∣}{∣ P F _{2} ∣} = 2$ 或 $\frac{7}{2}$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆直角焦点三角形

核心方法： $r_{1} + r_{2} = 6$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = 20$ ；直角在 $P$ 处 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 20$ 得 $r_{1} = 4, r_{2} = 2$ ；直角在 $F_{2}$ 处 $r_{1}^{2} = r_{2}^{2} + 20$ 得 $r_{1} = \frac{14}{3}, r_{2} = \frac{4}{3}$ ，比值 $2$ 或 $\frac{7}{2}$

避坑指南：椭圆定义 + 勾股分情况

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的定义

结论推广：一般地， $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c$

方法推广：定义 + 勾股分情况

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

2004-湖南文-15 填-椭圆焦点垂直

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2001-上海文-18 解-椭圆直角焦点三角形

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