2001-上海文-14 单-平行六面体向量分解

本题导读

本题考查空间向量的分解，以及平行六面体中向量的表示。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点，若 $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{A_1{D}_1}=\mathbf{b}$、$\overrightarrow{A_{1}A}=\mathbf{c}$，则下列向量中与 $\overrightarrow{B_{1}M}$ 相等的向量是()

A. $-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{c}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{c}$

C. $\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{c}$　　　　　　　　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{c}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 表示 $\overrightarrow{B_{1}B}$ 与 $\overrightarrow{BM}$。
2. $\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BM}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

在平行六面体中，$\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{A_{1}A}=\mathbf{c}$（同向等长）．又 $M$ 是底面 $AC$ 与 $BD$ 的交点，即平行四边形 $ABCD$ 对角线的交点，故 $M$ 是 $BD$ 的中点，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$．而 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，结合 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A_1{D}_1}=\mathbf{b}$，得 $\overrightarrow{BD}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}$．于是 $\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BM}=\mathbf{c}+\frac{1}{2}(-\mathbf{a}+\mathbf{b})=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{c}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行六面体向量分解

核心方法：$\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BM}=-\mathbf{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=-\mathbf{c}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=-\mathbf{c}+\frac{1}{2}(-\mathbf{a}+\mathbf{b})=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}$

避坑指南：空间向量分解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量基本定理

结论推广：一般地，向量沿三条不共面棱分解

方法推广：向量分解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-18 解-平行六面体体积
• 2008-大纲Ⅱ文-16 填-平行六面体充要条件类比