2001-上海文-11 填-命题推广开放结论

本题导读

本题考查命题的推广，以及从特例到一般的抽象。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 已知两个圆：$x^2+y^2=1$　①　与　$x^2+(y-3{)}^2=1$　②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抓住”半径相等、圆心不同”这一关键。
2. 用字母一般化圆心坐标与半径。

✅【答案】

Success

若两圆方程为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 与 $(x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^2$，且 $a\ne c$ 或 $b\ne d$，则由两式相减可得两圆的对称轴方程

✍【详细解析】

Abstract

原命题中两圆半径相等（均为 $1$）而圆心不同，相减后二次项与常数项相消，得到一条直线，即两圆的对称轴．将圆心与半径一般化：设两圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 与 $(x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^2$（半径相同，$a\ne c$ 或 $b\ne d$），两式相减得 $-2(a-c)x-2(b-d)y+a^2+b^2-c^2-d^2=0$，这是一条直线方程，即两圆的对称轴方程．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：命题推广开放结论

核心方法：两圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 与 $(x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^2$（$a\ne c$ 或 $b\ne d$），两式相减得两圆的对称轴方程

避坑指南：特例到一般的命题推广

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材命题的推广

结论推广：一般地，特例推广到一般时保留结构、放宽条件

方法推广：特例到一般的推广

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-22 解-组合数推广性质
• 2006-上海春-12 填-平均值不等式开放结论