2006-上海春-12 填-平均值不等式开放结论

本题导读

“去高分平均降低”即前 $m$ 项平均值不大于全体平均值；“去低分平均提高”即后段平均值不小于全体平均值，写出两个不等式即可。

📌【题干】

Question

同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高。这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 满足 $a_1⩽a_2⩽\cdots ⩽a_n$，则 $\underline{}$（结论用数学式子表示）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. “按顺序去掉一些高分”：保留前 $m$ 项（$1⩽m<n$），平均值 $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m}$。
2. 因数列递增，前 $m$ 项平均值不大于全体 $n$ 项平均值。
3. “按顺序去掉一些低分”：去掉前 $m$ 项保留后段，平均值 $\frac{a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n}{n-m}$，不小于全体平均值。
4. 写成两个不等式即得结论。

✅【答案】

Success

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m}⩽\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$（$1⩽m<n$），且 $\frac{a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n}{n-m}⩾\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$（$1⩽m<n$）

✍【详细解析】

Abstract

设保留前 $m$ 项（$1⩽m<n$）。因为 $a_1⩽a_2⩽\cdots ⩽a_n$， 前 $m$ 项的每一项都不大于其后各项，所以前 $m$ 项的平均值不超过全体 $n$ 项的平均值： $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m}⩽\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$。 这正是”去掉一些高分（后面的项），平均分将降低”。 反之，去掉前 $m$ 项后，剩下 $n-m$ 项的平均值不低于全体平均值： $\frac{a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n}{n-m}⩾\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$。 这正是”去掉一些低分（前面的项），平均分将提高”。 两个不等式对一切 $1⩽m<n$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均值不等式开放结论

核心方法：情境翻译成平均值不等式

避坑指南：去高分即前段平均 $⩽$ 全体平均；去低分即后段平均 $⩾$ 全体平均；两个不等式都要写且注明 $1⩽m<n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：开放结论题（情境数学化）

结论推广：把生活情境翻译成数学不等式，需自行设定符号并注明约束

方法推广：开放结论题先定符号系统（数列、下标范围），再逐句翻译条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-23 解-控制数列新定义
• 2011-浙江卷文-17 填-数列最大项

专题合集 (Series)