2000-新课标理-19 解-等差数列的通项公式与前n项和公式

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和公式及其应用。核心意图在于测试学生利用已知求和条件构建二元一次方程组求解等差数列首项与公差的基本量法，并通过代数化简探寻新数列的构成规律，准确计算新数列前 $n$ 项和的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 为等差数列， $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_7=7,S_{15}=75$ ， $T_n$ 为数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量法求等差数列未知数：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。根据等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，代入 $S_7=7$ 和 $S_{15}=75$ 建立关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组。
2. 求解方程组：解方程组求出 $a_1$ 和 $d$ 的具体数值。
3. 求出新数列的通项公式：将 $a_1$ 和 $d$ 代入 $S_n$ 的通用表达式中，化简得到 $\frac{S_n}{n}$ 的解析式。
4. 新数列求和：通过分析新数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的结构，判定其是否为等差数列，再套用对应的求和公式计算出其前 $n$ 项和 $T_n$。

✅【答案】

Success

$T_n=\frac{n(n-9)}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设基本量并建立方程组 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据等差数列求a和公式： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

由题意可知 $S_7=7,S_{15}=75$，代入公式得： $\{\begin{array}{l}7a_1+\frac{7\times 6}{2}d=7\\ 15a_1+\frac{15\times 14}{2}d=75\end{array}$ 化简方程组得： $\{\begin{array}{ll}7a_1+21d=7& \text{(1)}\\ 15a_1+105d=75& \text{(2)}\end{array}$

第二步：求解方程组 将 ① 式两边同时除以 7 得： $a_1+3d=1⟹a_1=1-3d\text{(3)}$ 将 ② 式两边同时除以 15 得： $a_1+7d=5\text{(4)}$

将 ③ 代入 ④ 中： $(1-3d)+7d=5$ $1+4d=5⟹4d=4⟹d=1$ 将 $d=1$ 代入 ③ 中： $a_1=1-3(1)=-2$

第三步：求新数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的通项公式 将 $a_1=-2,d=1$ 代入 $S_n$ 的表达式中： $S_n=n\times (-2)+\frac{n(n-1)}{2}\times 1=-2n+\frac{n^2-n}{2}=\frac{n^2-5n}{2}$

从而可得新数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的通项公式： $b_n=\frac{S_n}{n}=\frac{\frac{n^2-5n}{2}}{n}=\frac{n-5}{2}=\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}$

第四步：求新数列的前 $n$ 项和 $T_n$ 观察新数列的通项公式 $b_n=\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}$可知，其为一次函数结构，因此数列 $\{b_n\}$ 是一个首项为 $b_1$，公差为 $d^{\prime }$ 的等差数列。

• 首项： $b_1=\frac{1-5}{2}=-2$
• 末项： $b_n=\frac{n-5}{2}$

根据等差数列前 $n$ 项和公式（首尾项求和法）计算 $T_n$： $T_n=\frac{n(b_1+b_n)}{2}$ $T_n=\frac{n\left(-2+\frac{n-5}{2}\right)}{2}=\frac{n\left(\frac{n-9}{2}\right)}{2}=\frac{n(n-9)}{4}$

答： $T_n=\frac{n(n-9)}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量方程组的求解；等差数列前 $n$ 项和性质 $\frac{S_n}{n}$ 仍为等差数列。
2. 核心方法：基本量消元法。
3. 避坑指南：

• 通项符号计算粗心陷阱：在化简 $S_n=-2n+\frac{n^2-n}{2}$ 时，极易因为粗心将 $-2n$ 错算成 $\frac{-4n}{2}$ 后的分子合并，导致结果写错。每一步分式通分必须仔细校验。
• 求和公式乱用陷阱：部分学生求得 $b_n=\frac{n-5}{2}$ 后，没有意识到 $\{b_n\}$ 本身又构成了一个新的等差数列，而盲目尝试使用错位相减法或裂项相消法等复杂求和工具，导致人为加大计算量。判断出通项是一次函数形式即可直接套用等差求和公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的等差数列性质交汇解答大题，旨在考查数列基本运算的扎实度，直接取材于高中代数教材中“等差数列的前 $n$ 项和”章节课后的标准拉分习题。
2. 结论推广： 本题体现了等差数列的一个重要通用性质：若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，则其前 $n$ 项和的平均数数列 $b_n=\frac{S_n}{n}$ 必为等差数列。 若原数列首项为 $a_1$，公差为 $d$，则新数列 $\{b_n\}$ 的首项 $b_1=a_1$，公差 $d^{\prime }=\frac{d}{2}$。 利用该均值等差不变量模型验证本题： 已知原公差 $d=1$，则新公差 $d^{\prime }=\frac{1}{2}$；新首项 $b_1=a_1=-2$。 直接写出新数列的前 $n$ 项和： $T_n=n(-2)+\frac{n(n-1)}{2}\times \frac{1}{2}=-2n+\frac{n^2-n}{4}=\frac{-8n+n^2-n}{4}=\frac{n^2-9n}{4}$ 掌握此性质，在面对客观题时可直接免去复杂的联立化简过程，实现快速破题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和