2000-新课标理-18乙 解-直三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查直三棱柱中空间几何量的综合计算与空间位置关系的逻辑证明。核心意图在于测试学生利用传统空间几何定理进行空间两点间距离测算、异面直线夹角平移转化以及线线垂直严谨代数与几何论证的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 【乙】 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ ，底面 $△ABC$ 中， $CA=CB=1$ ， $\angle BCA=90^{\circ }$ ，棱 $A{A}_1=2$ ， $M、N$ 分别是 $A_1{B}_1、A_{1}A$ 的中点．

(1)求 $\overrightarrow{BN}$ 的长；

(2)求 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值；

(3)求证 $A_{1}B\perp C_{1}M$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，由性质定理得 $A{A}_1\perp AB$。在 Rt$△ABC$ 中通过勾股定理求出 $AB$，再在 Rt$△NAB$ 中求出斜边 $BN$ 的长度。
2. 第（2）问思路：取三条棱方向的单位向量作两两垂直的基底，把 $\overrightarrow{B{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{C{B}_1}$ 都拆成基底的线性组合（起点分别统一到 $B$ 与 $C$），展开数量积时只有同向的项存活，再除以两个模。也可以直接建系写坐标，两条路等价。
3. 第（3）问思路：仍用第（2）问的基底，把 $\overrightarrow{A_{1}B}$、$\overrightarrow{C_{1}M}$ 各自写成 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 的线性组合（$M$ 是 $A_1{B}_1$ 中点，先算 $\overrightarrow{CM}$），再作数量积。结果为零即两向量垂直，也就证得两直线垂直。

✅【答案】

Success

(1) $|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{3}$

(2) $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\overrightarrow{BN}$ 的长

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$。 因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A{A}_1\perp AB$，即 $△NAB$ 是以 $\angle NAB$ 为直角的直角三角形。

在底面等腰直角 $△ABC$ 中， $CA=CB=1$， $\angle BCA=90^{\circ }$。 由勾股定理得： $AB=\sqrt{C{A}^2+C{B}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

因为 $N$ 是棱 $A_{1}A$ 的中点，且 $A{A}_1=2$： $AN=\frac{1}{2}A{A}_1=\frac{1}{2}\times 2=1$

在 Rt$△NAB$ 中，由勾股定理求得弦长： $BN=\sqrt{A{N}^2+A{B}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

答： $\overrightarrow{BN}$ 的长为 $\sqrt{3}$。

（2）求 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值

取 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 为分别与 $\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{C{C}_1}$ 同向的单位向量。三者两两垂直，构成一组正交单位基底，于是 $\overrightarrow{CB}={\mathbf{e}}_1,\overrightarrow{CA}={\mathbf{e}}_2,\overrightarrow{C{C}_1}=2{\mathbf{e}}_3$

把两条目标向量的起点分别统一到 $B$ 与 $C$： $\overrightarrow{B{A}_1}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}_1}=-{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+2{\mathbf{e}}_3$ $\overrightarrow{C{B}_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{B}_1}={\mathbf{e}}_1+2{\mathbf{e}}_3$

因为 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 两两垂直，展开数量积后只有同向的项不为零： $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}=(-1)\times 1+2\times 2=-1+4=3$

再算两个模： $|\overrightarrow{B{A}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{6},|\overrightarrow{C{B}_1}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

于是 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{3}{\sqrt{6}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$

答：$\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$。

（3）求证 $A_{1}B\perp C_{1}M$

证明：沿用第（2）问的正交单位基底。

先把各点写成以 $C$ 为起点的向量： $\overrightarrow{C{A}_1}={\mathbf{e}}_2+2{\mathbf{e}}_3,\overrightarrow{C{B}_1}={\mathbf{e}}_1+2{\mathbf{e}}_3,\overrightarrow{C{C}_1}=2{\mathbf{e}}_3$

于是 $\overrightarrow{A_{1}B}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{C{A}_1}={\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2-2{\mathbf{e}}_3$

$M$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，由中点公式 $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{C{A}_1}+\overrightarrow{C{B}_1}\right)=\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_1+\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_2+2{\mathbf{e}}_3$ 从而 $\overrightarrow{C_{1}M}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{C{C}_1}=\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_1+\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_2$

作数量积： $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}=1\times \frac{1}{2}+(-1)\times \frac{1}{2}+(-2)\times 0=0$

所以 $\overrightarrow{A_{1}B}\perp \overrightarrow{C_{1}M}$，即 $A_{1}B\perp C_{1}M$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等腰直角三角形与特殊直棱柱的空间度量；异面直线夹角的平移法与余弦定理；向量积展开证明线线垂直。
2. 核心方法：空间向量基底法（或传统射影定理几何法）。
3. 避坑指南：

• 向量夹角的余弦可正可负，但符号不能靠猜。本题 $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}=3>0$，所以余弦必为正，答案是 $\frac{\sqrt{30}}{10}$。若某题算出负值，那也是合法答案（向量夹角取 $[0,\pi ]$）。自检只有一条：先看点积的符号——点积为正即锐角、为负即钝角，必须与算出的余弦同号；两者矛盾，说明展开数量积时漏了项，或者把某两条本该垂直的棱当成了不垂直。若题目改问”异面直线 $B{A}_1$ 与 $C{B}_1$ 所成的角”，才需对结果取绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：2000 年新课标卷把同一道题分成甲、乙两卷：甲卷要求先建立空间直角坐标系、写出各点坐标再算，乙卷要求直接用向量运算。两卷考的是同一件事的两种写法，正好可以对照——建系就是把”基底”具体化成三条坐标轴。
2. 结论推广：设 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 是两两垂直的单位向量，则任一向量可唯一写成 $x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2+z{\mathbf{e}}_3$，且

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

这就是坐标形式数量积公式的来路：它不是新规定，而是”基底两两垂直，交叉项全部归零”的结果。反过来也说明，三条轴只要有两条不垂直，这个公式立刻失效——这正是建系必须先证垂直的原因。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-10 单-异面直线角
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-湖南-07 解-圆内接四边形求边